Question

已知f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，且对任意的x＞0，y＞0都满足f（

x

y

）=f（x）-f（y）．
（1）求f（1）的值；
（2）若x＞0，证明f（x²）=2f（x）；
（3）若f（3）=1，解不等式f（x+3）-f（

1

x-1

）＜2．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用,函数单调性的性质

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（1）利用赋值法，令x=y=1，即可求出f（1）=0，
（2）先令y=

1

x

，代入化简即可证明，
（3）先求出f（9）=2，再化简不等式，根据函数在（0，+∞）上的增函数，构造不等式组，解得即可

解答： 解：（1）令x=y=1，得f（1）=f（1）-f（1）=0；
（2）令y=

1

x

，
∴f（

x

y

）=f（

x

1 x

）=f（x²）=f（x）-f（

1

x

）=f（x）-f（1）+f（x）=2f（x）
（3）由（2）得，f（3²）=f（9）=2f（3）=2
∵f（x+3）-f（

1

x-1

）＜2．
∴f[（x+3）（x-1）]=f（x²+2x-3）＜f（9）
∵f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，
∴

x+3＞0 x-1＞0 x2+2x-3＜9

解得1＜x＜-1+

13

所以不等式的解集为（1，-1+

13

）

点评：本题考查抽象函数及其应用，考查赋值法，突出考查函数单调性的应用与解不等式组的能力，属于中档题．