Question

如图，在四棱锥E-ABCD中，底面ABCD为正方形，AE⊥平面CDE，已知AE=DE=2，F为线段DE的中点．
（Ⅰ）求证：CD⊥平面ADE；
（Ⅱ）求二面角C-BF-E的平面角的余弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）由正方形性质得CD⊥AD，由线面垂直得AE⊥CD，由此能证明CD⊥平面ADE．
（2）以D为原点，DC为x轴，DE为y轴，过点D平行于EA的直线为z轴，建立空间直角坐标系，求出平面BCF的法向量和平面BEF的法向量，由此能求出二面角C-BF-E的平面角的余弦值．

解答： （1）证明：∵底面ABCD为正方形，∴CD⊥AD，
∵AE⊥平面CDE，CD?平面CDE，
∴AE⊥CD，
又AD∩AE=A，∴CD⊥平面ADE．
（2）解：由CD⊥平面ADE，得CD⊥DF，
∴以D为原点，DC为x轴，DE为y轴，
过点D平行于EA的直线为z轴，
建立空间直角坐标系，
由题意AD=

AE2+DE2

=

4+4

=2

2

，
C（2

2

，0，0），B（2

2

，2，2），
E（0，2，0），F（0，1，0），

FB

=（2

2

，1，2），

FC

=（2

2

，-1，0），

FE

=（0，1，0），
设平面BCF的法向量

n

=（x，y，z），
则

n • FB =2 2 x+y+2z=0 n • FC =2 2 x-y=0

，取x=

2

，得

n

=（

2

，4，-4），
设平面BEF的法向量

m

=（a，b，c），
则

m • FB =2 2 a+b+2c=0 m • FE =b=0

，取a=

2

，得

m

=（

2

，0，-2），
设二面角C-BF-E的平面角为θ，
cosθ=|cos＜

m

，

n

＞|=|

m • n

| m |•| n |

|=|

2+8

34 • 6

|=

5 51

51

，
∴二面角C-BF-E的平面角的余弦值为

5 51

51

．

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．