Question

已知函数g（x）=e^x（e=2.718…）的图象如图所示．
（Ⅰ）在所给坐标系中画出φ（x）=（e-1）x+1的图象；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）中所做的图象，比较g（0.9）与φ（0.9）的大小；
（Ⅲ）若f（x）=lnx+2x-6只在区间（2，3）内有意义且连续，判断f（x）=lnx+2x-6在区间（2，3）内存在零点c，并找出零点c的近似值x₀所在的一个区间，使得|x₀-c|＜0.1．

Answer 1

考点：指数函数的图像与性质,二分法求方程的近似解

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）由φ（x）的解析式化简φ（x）的图象；
（Ⅱ）作直线x=0.9分别交g（x）和φ（x）与A、B两点，由图象即可判断出g（0.9）与φ（0.9）的大小；
（Ⅲ）先求出f（2.5）和f（e）的值并判断出符号，由函数零点存在性判定定理得：f（x）在区间（2.5，e）内存在零点c，即f（x）在区间（2，3）内存在零点c，由g（0.9）＜φ（0.9）得e^0.9＜2.6，再得f（2.6）＞0，
将零点所在的区间进一步缩小为（2.5，2.6），即可得到结论．

解答： 解：（Ⅰ）如图，
φ（x）=（e-1）x+1的图象是一条过（0，1）和（1，e）的直线；


（Ⅱ）如图：作直线x=0.9分别交g（x）和φ（x）与A、B两点，
因为B在A点的上方，所以g（0.9）＜φ（0.9）；
（Ⅲ）因为f（x）在区间（2，3）上连续，所以在区间[2.5，e]上也连续，
∵f（2.5）=ln2.5+5-6=ln2.5-1＜lne-1=0，
f（e）=lne+2e-6＞1+2×2.7-6=0.4＞0，
∴f（2.5）f（e）＜0，
所以f（x）在区间（2.5，e）内存在零点c，
即f（x）在区间（2，3）内存在零点c，
∵φ（0.9）=（e-1）×0.9+1=0.9e+0.1＜0.9×2.72+0.1=2.548＜2.6，
又g（0.9）＜φ（0.9），则e^0.9＜2.6，所以0.9＜ln2.6，
∵f（2.6）=ln2.6+2-6=ln2.6-0.8＞0.9-0.8=0.1＞0，
∴f（2.5）f（2.6）＜0，所以零点c∈（2.5，2.6），
若取零点c的近似值x₀所在的一个区间为（2.5，2.6），
则|x₀-c|＜|2.6-2.5|=0.1，
所以零点c的近似值x₀可取区间为（2.5，2.6）．

点评：本题考查一次函数的图象，函数零点存在性判定定理，数形结合思想思想，考查计算化简能力，属于中档题．