Question

已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若acosC，bcosB，ccosA依次成等差数列．
（1）求角B；
（2）若△ABC的外接圆面积为π，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：计算题,等差数列与等比数列,解三角形,不等式的解法及应用

分析：（1）利用等差数列的性质以及正弦定理，结合两角和的正弦公式和内角和定理，求出B的余弦值，然后求角B的大小；
（2）由△ABC的外接圆的面积为π，求出半径，利用正弦定理可得b，再利用余弦定理，结合基本不等式，即可求△ABC面积的最大值．

解答： 解：（1）∵acosC，bcosB，ccosA依次成等差数列．
∴acosC+ccosA=2bcosB，
∴sinAcosC+sinCcosA=2sinBcosB，
∴sin（A+C）=2sinBcosB，
则sinB=2sinBcosB，
∴cosB=

1

2

，
由于0＜B＜π，则B=

π

3

；
（2）∵△ABC的外接圆的面积为π，
∴r=1，
∴b=2rsinB=2×1×

3

2

=

3

，
∴3=a²+c²-2accosB≥ac，
当且仅当a=c时，取等号，即ac的最大值为3，
∴△ABC面积为

1

2

acsinB≤

1

2

×3×

3

2

=

3 3

4

．
则△ABC面积的最大值为

3 3

4

．

点评：本题考查正弦定理、余弦定理的运用，考查三角形的内角和定理的应用，考查基本不等式的运用：求最值，注意角的范围的应用，考查计算能力．