Question

已知圆C与直线l：x+y=1相切于点A（2，1）且圆心在直线y=-2x上，
（1）求圆C的方程；
（2）过点B（3，2）作圆C的切线，求该切线方程．

Answer 1

考点：圆的标准方程,圆的切线方程

专题：直线与圆

分析：（1）设圆心C的坐标为（a，-2a），根据直线AC和直线l垂直求得a的值，可得圆心C的坐标，根据半径为圆心C到切线l的距离，求得半径r的值，可得圆C的方程．
（2）由条件利用点斜式求得此切线的方程，再根据圆心C（

1

3

，-

2

3

）到此切线的距离等于半径求得斜率k的值，可得该切线方程．

解答： 解：（1）设圆心C的坐标为（a，-2a），根据直线AC和直线l垂直可得

-2a-1

a-2

•（-1）=-1，
求得a=

1

3

，可得C（

1

3

，-

2

3

），且半径为圆心C到切线l的距离，即半径r=

| 1 3 - 2 3 -1|

2

=

2 2

3

，
故圆C的方程为 (x-

1

3

)2+(y+

2

3

)2=

8

9

．
（2）设过点B（3，2）的切线的斜率为k，则此切线的方程为y-2=k（x-3），即 kx-y+2-3k=0．
再根据圆心C（

1

3

，-

2

3

）到此切线的距离等于半径，可得

| 1 3 k+ 2 3 +2-3k|

k2+1

=

2 2

3

，
求得k=

8+ 15

7

，或k=

8- 15

7

，
故该切线方程为

8+ 15

7

x-y+2-

24+3 15

5

=0，或

8+ 15

7

x-y+2-

24-3 15

7

=0．

点评：本题主要考查求圆的标准方程的方法，求出圆心坐标和半径的值，是解题的关键．还考查了直线和圆相切的性质，点到直线的距离公式的应用，属于中档题．