Question

已知函数f（x）=[x²+（1-t）x+1]e^-x（t∈R，e是自然对数的底）．
（Ⅰ）若对于任意x∈（0，1），曲线y=f（x）恒在直线y=x上方，求实数t的最大值；
（Ⅱ）是否存在实数a，b，c∈[0，1]，使得f（a）+f（b）＜f（c）？若存在，求出t的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）对于x∈（0，1），函数y=f（x）的图象恒在直线y=x上方，可得x∈（0，1）时，1-t＞ex-x-

1

x

，求出右边的最大值，即可求实数t的最大值；
（Ⅱ）假设存在a，b，c∈[0，1]，使得f（a）+f（b）＜f（c）成立，则问题等价于2f（x）_min＜f（x）_max．

解答： 解：（Ⅰ）∵对于x∈（0，1），函数y=f（x）的图象恒在直线y=x上方?x∈（0，1）时，

x2+(1-t)x+1

ex

＞x?x∈（0，1）时，1-t＞ex-x-

1

x

．（*）
设g(x)=ex-x-

1

x

，x∈（0，1]，则g′(x)=ex-1+

1

x2

＞0对x∈（0，1]恒成立，
所以g(x)=ex-x-

1

x

在（0，1]上单调递增，于是g（x）_max=g（1）=e-2；
从而，由（*）式得1-t≥e-2，即t≤3-e．
所以，t的最大值为3-e．                       …6分
（Ⅱ）假设存在a，b，c∈[0，1]，使得f（a）+f（b）＜f（c）成立，则问题等价于2f（x）_min＜f（x）_max．（**）
由（Ⅰ）知，f′(x)=

-(x-t)(x-1)

ex

．
①当t≥1时，f'（x）≤0，f（x）在[0，1]上单调递减，所以2f（1）＜f（0），
即2•

3-t

e

＜1，得t＞3-

e

2

．由于3-

e

2

＞1，所以t＞3-

e

2

符合题意；
②当t≤0时，f'（x）≥0，f（x）在[0，1]上单调递增，所以2f（0）＜f（1），
即2•1＜

3-t

e

，得t＜3-2e．3-2e＜0，所以t＜3-2e也符合题意；
③当0＜t＜1时，在x∈[0，t）上，f'（x）＜0，f（x）在[0，t）上单调递减；
在x∈（t，1]上，f'（x）＞0，f（x）在（t，1]上单调递增；
故由（**）式知2f（t）＜max{f（0），f（1）}，即2•

t+1

et

＜max{1，

3-t

e

}．（***）
设h(t)=

t+1

et

（t∈（0，1）），则h′(t)=-

t

et

＜0恒成立，
所以h(t)=

t+1

et

在（0，1）上单调递减，从而有h(t)=

t+1

et

＞h(1)=

2

e

．
于是2•

t+1

et

＞

4

e

，而

4

e

＞1，

4

e

＞

3-t

e

，所以（***）式不可能成立．
综上所述，存在t∈(-∞，3-2e)∪(3-

e

2

，+∞)，使得命题成立．…13分．

点评：本题考查导数在最大值、最小值问题中的应用，考查学生分析解决问题的能力，正确求导数是关键．