题目内容
已知函数f（x）=ax+2ln（ax+1），其中实常a∈（1，6）．
（Ⅰ）当a=2时，比较f（x）与6x2+6x的大小；
（Ⅱ）已知函数f（x）的图象与直线y=6x相切，证明x∈（1，3）时，（x+3）f（
）＜6x-6．
（Ⅰ）当a=2时，比较f（x）与6x2+6x的大小；
（Ⅱ）已知函数f（x）的图象与直线y=6x相切，证明x∈（1，3）时，（x+3）f（
| ||
| 2 |
考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数求闭区间上函数的最值,不等式比较大小
专题：转化思想,导数的综合应用,不等式的解法及应用
分析：（Ⅰ）把a=2代入函数f（x）的解析式，构造函数g（x）=f（x）-（6x2+6x），求导得到其最大值为g（0）=0，从而得到f（x）与6x2+6x的大小；
（Ⅱ）首先证明函数f（x）的图象与直线y=6x的一个公共点时a的值为2，当a=2时构造函数h（x）=f(
)-
=lnx+
-1-
，求导后放缩得到
h′(x)≤
-
=
，然后记分子为p（x），二次求导后得到p（x）说明存在x0∈（1，3），使p′（x0）=0，且在（1，x0）上递减，在（x0，3）上递增，再由又p（1）=0，p（3）=0，说明x∈[1，3]时，p（x）max=0，x∈（1，3）时恒有p（x）＜0，进而恒有h′（x）＜0，h（x）在（1，3）上递减，则（x+3）f（
）＜6x-6成立．
（Ⅱ）首先证明函数f（x）的图象与直线y=6x的一个公共点时a的值为2，当a=2时构造函数h（x）=f(
| ||
| 2 |
| 6x-6 |
| x+3 |
| x |
| 6x-6 |
| x+3 |
h′(x)≤
| x+5 |
| 4x |
| 24 |
| (x+3)2 |
| (x+5)(x+3)2-96x |
| 4x(x+3)2 |
| ||
| 2 |
解答：
（Ⅰ）解：a=2时，f（x）=2x+2ln（2x+1）（x＞-
），
记g（x）=f（x）-（6x2+6x），则g′(x)=f′(x)-(12x+6)=-4•
，
当x∈(-
，0)时，g′（x）＞0；当x∈（0，+∞）时，g′（x）＜0，
∴g（x）在x=0时取得极大值，也是最大值为g（0）=0，
则g（x）=f（x）-（6x2+6x）≤g（0）=0，
即f（x）≤6x2+6x；
（Ⅱ）证明：O（0，0）是函数f（x）的图象与直线y=6x的一个公共点，
f′(x)=a+
，f′(0)=3a．
若函数y=f（x）在（0，0）处相切，则3a=6，解得a=2，
当函数f（x）的图象与直线y=6x不在（0，0）处相切时，设切点为P（x0，y0），
则y（x0）=ax0+2ln（ax0+1）=6x0，且y′(x0)=a+
=6，
联立消去x0得，2ln
+
-3=0，
设φ(a)=2ln
+
-3，则φ′(a)=2•
•
-
=
，
当a∈（1，2）时，φ′（a）＜0；当a∈（2，6）时，φ′（a）＞0，
∴φ（a）在a=2时有最小值为φ（2）=0，
∴函数φ（a）有唯一零点a=2．
即函数f（x）的图象与直线y=6x相切，则a=2．
由a=2，得f(
)=
+lnx-1，
记h（x）=f(
)-
=lnx+
-1-
，
则h′(x)=
+
-
，
∵x∈（1，3），∴
+
=
=
=
≤
，
∴h′(x)≤
-
=
．
又记p（x）=（x+5）（x+3）2-96x=x3+11x2-57x+45，
则p′（x）=3x2+22x-57，p′（1）=-320，
说明存在x0∈（1，3），使p′（x0）=0．
∵p′（x）是二次函数，则x∈（1，x0）时，p′（x）＜0；
x∈（x0，3）时，p′（x）＞0，
∴p（x）在（1，x0）上递减，在（x0，3）上递增．
又p（1）=96-96=0，p（3）=288-288=0，
则x∈[1，3]时，p（x）max=0，x∈（1，3）时恒有p（x）＜0，
进而恒有h′（x）＜0，h（x）在（1，3）上递减．
故x∈（1，3）时恒有h（x）＜h（1）=0，
即（x+3）f（
）＜6x-6．
| 1 |
| 2 |
记g（x）=f（x）-（6x2+6x），则g′(x)=f′(x)-(12x+6)=-4•
| 6x2+5x |
| 2x+1 |
当x∈(-
| 1 |
| 2 |
∴g（x）在x=0时取得极大值，也是最大值为g（0）=0，
则g（x）=f（x）-（6x2+6x）≤g（0）=0，
即f（x）≤6x2+6x；
（Ⅱ）证明：O（0，0）是函数f（x）的图象与直线y=6x的一个公共点，
f′(x)=a+
| 2a |
| ax+1 |
若函数y=f（x）在（0，0）处相切，则3a=6，解得a=2，
当函数f（x）的图象与直线y=6x不在（0，0）处相切时，设切点为P（x0，y0），
则y（x0）=ax0+2ln（ax0+1）=6x0，且y′(x0)=a+
| 2a |
| ax0+1 |
联立消去x0得，2ln
| 2a |
| 6-a |
| 6 |
| a |
设φ(a)=2ln
| 2a |
| 6-a |
| 6 |
| a |
| 6-a |
| 2a |
| 12 |
| (6-a)2 |
| 6 |
| a2 |
| 18(a-2) |
| a2(6-a) |
当a∈（1，2）时，φ′（a）＜0；当a∈（2，6）时，φ′（a）＞0，
∴φ（a）在a=2时有最小值为φ（2）=0，
∴函数φ（a）有唯一零点a=2．
即函数f（x）的图象与直线y=6x相切，则a=2．
由a=2，得f(
| ||
| 2 |
| x |
记h（x）=f(
| ||
| 2 |
| 6x-6 |
| x+3 |
| x |
| 6x-6 |
| x+3 |
则h′(x)=
| 1 |
| x |
| 1 | ||
2
|
| 24 |
| (x+3)2 |
∵x∈（1，3），∴
| 1 |
| x |
| 1 | ||
2
|
| ||
| 2x |
2
| ||
| 4x |
(x+5)-(
| ||
| 4x |
| x+5 |
| 4x |
∴h′(x)≤
| x+5 |
| 4x |
| 24 |
| (x+3)2 |
| (x+5)(x+3)2-96x |
| 4x(x+3)2 |
又记p（x）=（x+5）（x+3）2-96x=x3+11x2-57x+45，
则p′（x）=3x2+22x-57，p′（1）=-320，
说明存在x0∈（1，3），使p′（x0）=0．
∵p′（x）是二次函数，则x∈（1，x0）时，p′（x）＜0；
x∈（x0，3）时，p′（x）＞0，
∴p（x）在（1，x0）上递减，在（x0，3）上递增．
又p（1）=96-96=0，p（3）=288-288=0，
则x∈[1，3]时，p（x）max=0，x∈（1，3）时恒有p（x）＜0，
进而恒有h′（x）＜0，h（x）在（1，3）上递减．
故x∈（1，3）时恒有h（x）＜h（1）=0，
即（x+3）f（
| ||
| 2 |
点评：本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数求函数的最值，对于（Ⅱ）的证明，对h（x）求导后的放缩是该题的难点和关键，体现了数学转化思想方法，本题对于学生的逻辑思维能力要求过高，同时要求考生具有较强的计算能力，是难度较大的题目．
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| 1 | ||
x
|
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