Question

已知函数f（x）=

x

3x+1

，数列{a_n}是首项等于1且公比等于f（1）的等比数列；数列{b_n}首项b₁=

1

3

，满足递推关系b_n+1=f（b_n）．
（Ⅰ）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设c_n=

an

bn

，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）直接根据已知条件求出数列的通项公式．
（Ⅱ）利用上步的结论，使用乘公比错位相减法求出结果．

解答： 解：（Ⅰ）函数f（x）=

x

3x+1

，
则：f（1）=

1

4

由于：数列{a_n}是首项等于1且公比等于f（1）的等比数列，
所以：an=(

1

4

)n-1
数列{b_n}首项b₁=

1

3

，满足递推关系b_n+1=f（b_n）．
则：bn+1=

bn

3bn+1

整理得：

1

bn+1

-

1

bn

=3
所以：{

1

bn

}是以

1

b1

=

1

3

为首项，3为公差的等差数列．
解得：bn=

1

3n

（Ⅱ）cn=

an

bn

=3n•(

1

4

)n-1
则：T_n=c₁+c₂+…+c_n=3•(

1

4

)0+6•(

1

4

)1+…+3n•(

1

4

)n-1^n-1①

1

4

Tn=3•(

1

4

)1+6•(

1

4

)2+…+3n•(

1

4

)nⁿ②
则：①-②得：

3

4

Tn=3•

1-( 1 4 )n

1- 1 4

-

3n

4n

=4-

4+3n

4n

所以：Tn=

16

3

-

3n+4

3•4n-1

点评：本题考查的知识要点：数列通项公式的求法，乘公比错位相减法的应用，属于基础题型．