题目内容

在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，AD⊥平面PBC，其垂足D落在直线PB上，
（1）求证：BC⊥PB；
（2）若AD=
3
，AB=BC=2，Q为AC的中点，求二面角Q-PB-C的余弦值．
考点：二面角的平面角及求法,空间中直线与直线之间的位置关系
专题：空间位置关系与距离,空间角
分析：（1）由已知得PA⊥BC，AD⊥BC，从而BC⊥平面PAB，由此能证明BC⊥PB．
（2）以
AB
、
AP
为x轴、z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角Q-PB-C的余弦值．
解答： 解：（1）证明：∵PA⊥平面ABC，BC在平面ABC内，∴PA⊥BC （1分）
又∵AD⊥平面PBC，BC在平面ABC内，∴AD⊥BC（2分）
PA、AD在平面PAB内且相交于A，∴BC⊥平面PAB（3分）
而PB在平面PAB内，
∴BC⊥PB．（4分）
（2）解：由（1）知BC⊥平面PAB，AB在平面PAB内，∴BC⊥AB
∵AD⊥平面PBC，其垂足D落在直线PB上，∴AD⊥PB
设PA=x，则
4+x2
×
3
=2x⇒x=2
3
（6分）
以
AB
、
AP
为x轴、z轴建立空间直角坐标系，
则B（2，0，0），Q（1，1，0），P（0，0，2
3
），C（2，2，0）
PB
=(2，0，-2
3
)，
PQ
=(1，1，-2
3
)
设平面PBQ的法向量为
n
=（x，y，z），
则
(x，y，z)•(2，0，-2
3
)=0
(x，y，z)•(1，1，-2
3
)=0
⇒x=y=
3
z
∴
n
=（3，3，
3
），（8分）
在Rt△ABD中，AD=
3
，AB=2，则BD=1
∴D(
3
2
，0，
3
2
)，
DA
=(-
3
2
，0，-
3
2
)（10分）
由已知
DA
是平面PBC的法向量，
cos＜
n
，
DA
＞=
(3，3，
3
)•(-
3
2
，0，-
3
2
)
32+32+(
3
)2
×
(-
3
2
)2+02+(-
3
2
)2
=-
2
7
7

∴二面角Q-PB-C的余弦值为
2
7
7
．（12分）
点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
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．
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x
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2
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（1）求证：BC⊥PB；
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．

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