Question

9．已知x＞0，y＞0，求证：$x+y≤\frac{y^2}{x}+\frac{x^2}{y}$．

Answer 1

分析 使用分析法证明，寻找使结论成立的充分条件即可．

解答 证明：∵x＞0，y＞0，
故欲证：$x+y≤\frac{y^2}{x}+\frac{x^2}{y}$，只需证：（x+y）xy≤x³+y³，
即证：（x+y）xy≤（x+y）（x²-xy+y²），
只需证：xy≤x²-xy+y²，
即证：2xy≤x²+y²，
显然上式恒成立，
故$x+y≤\frac{y^2}{x}+\frac{x^2}{y}$．

点评 本题考查了不等式的证明，属于中档题．