Question

已知二次函数f（x）满足条件：f（0）=1，f（x+1）=f（x）+2x
（Ⅰ）求f（x）；
（Ⅱ）讨论二次函数f（x）在闭区间[t，t+1]（t∈R）上的最小值．

Answer 1

考点：二次函数的性质,函数解析式的求解及常用方法

专题：函数的性质及应用

分析：（1）设f（x）=ax²+bx+1，根据f（x+1）=f（x）+2x，解得a，b的值，即可求出f（x）的解析式；
（2）分情况讨论当t≥

1

2

，t+1≤

1

2

，-

1

2

＜t＜

1

2

时，分别求出f（x）的最小值即可．

解答： 解：（1）设f（x）=ax²+bx+1
根据已知则有a（x+1）²+b（x+1）+1=ax²+bx+1+2x
即有2ax+a+b=2x
解得a=1，b=-1
∴f（x）=x²-x+1
（2）解：①当t≥

1

2

时，f（x）在[t，t+1]上是增函数
∴f（x）_min=f（t）
②当t+1≤

1

2

，即t≤-

1

2

时，f（x）在[t，t+1]上是减函数
∴f(x)min=f(t+1)=(t+

1

2

)2+

3

4

=t2+t+1
③当-

1

2

＜t＜

1

2

时，f(x)min=f(

1

2

)=

3

4

点评：本题主要考察了二次函数的性质，函数解析式的求解及常用方法，属于中档题．