Question

命题p：函数y=log_2+ax为减函数；命题q：关于x的方程x²-ax+

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2

=0有解．若命题p和q中有且仅有一个为真命题，试求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：复合命题的真假

专题：简易逻辑

分析：先根据对数函数的单调性，一元二次方程解的情况和判别式△的关系求出命题p，q下的a的取值范围，由p，q中有且仅有一个为真命题得到p真q假，和p假q真两种情况，然后求出每种情况下的a的取值范围再求并集即可．

解答： 解：命题p：首先2+a＞0，且2+a≠1，即a＞-2，且a≠-1，
∵函数y=log_2+ax为减函数，∴0＜2+a＜1，-2＜a＜-1；
命题q：关于x的方程x2-ax+

1

2

=0有解，则：△=a²-2≥0，∴a≤-

2

，或a≥

2

；
若命题p和q中有且仅有一个为真命题，则：
p真q假时，

-2＜a＜-1 - 2 ＜a＜ 2

，解得-

2

＜a＜-1；
p假q真时，

a＞-1 a≤- 2 ，或a≥ 2

，解得a≥

2

；
∴实数a的取值范围为(-

2

，-1)∪[

2

，+∞)．

点评：考查对数函数的单调性，以及一元二次方程的解的情况和判别式△的关系，并集的概念．