Question

已知函数f（x）=lnx-

1

2

x+ln

e

2

，g（x）=

3x

2

-

2

x

-f（x）．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）设函数h（x）=x²-mx+4，若存在x₁∈（0，1]，对任意的x₂∈[1，2]，总有g（x₁）≥h（x₂）成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：计算题,导数的综合应用

分析：（1）求出导数，令导数大于0，的增区间，令导数小于0，得减区间，注意定义域；
（2）求出g（x）的导数，判断函数g（x）在（0，1]上单调递增，得到最大值，再由条件得到g（x）在（0，1]上的最大值不小于h（x）在[1，2]上的最大值，列出不等式组，解出即可得到．

解答： 解：（1）由于函数f（x）=lnx-

1

2

x+ln

e

2

，
故导数f′(x)=

1

x

-

1

2

=

2-x

2x

．
∴当0＜x＜2时，f′（x）＞0；当x＞2时，f′（x）＜0．
∴f（x）的单调增区间为（0，2），单调减区间为（2，+∞）；
（2）g（x）=

3x

2

-

2

x

-lnx+

x

2

-ln

e

2

，
则g′（x）=2-

1

x

+

2

x2

=

2x2-x+2

x2

，
而2x²-x+2=2（x-

1

4

）²+

15

8

＞0，故在（0，1]上g′（x）＞0，
即函数g（x）在（0，1]上单调递增，∴g（x）_max=g（1）=ln2-1，
而“存在x₁∈（0，1]，对任意的x₂∈[1，2]，总有g（x₁）≥h（x₂）成立”
等价于“g（x）在（0，1]上的最大值不小于h（x）在[1，2]上的最大值”，
而h（x）在[1，2]上的最大值为h（1），h（2）中的最大者，记为max{h（1），h（2）}
所以

g(1)≥h(1) g(1)≥h(2)

，即有

ln2-1≥5-m ln2-1≥8-2m

，
则

m≥6-ln2 m≥ 1 2 (9-ln2)

即有m≥6-ln2．
故实数m的取值范围为[6-ln2，+∞）．

点评：本题考查导数的运用：求单调区间和最值，考查不等式的恒成立问题转化为求最值问题，考查运算能力，属于中档题和易错题．