Question

已知曲线C的极坐标方程是ρ-2cosθ-4sinθ=0，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，设直线l的参数方程是

x= 1 2 t y=2+ 3 2 t

（t是参数）．
（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，将直线l的参数方程化为普通方程；
（2）若直线l与曲线C相交于A、B两点，与y轴交于点E，求|EA|+|EB|．

Answer 1

考点：参数方程化成普通方程,点的极坐标和直角坐标的互化

专题：坐标系和参数方程

分析：（1）由曲线C的极坐标方程ρ-2cosθ-4sinθ=0，化为ρ²-2ρcosθ-4ρsinθ=0，利用

x=ρcosθ y=ρsinθ

即可得出；由直线l的参数方程

x= 1 2 t y=2+ 3 2 t

（t是参数），把t=2x代入y=2+

3

2

t即可得出．
（2）把直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程可得：t²-t-4=0．点E对应的参数为t=0．设点A，B分别对应的参数为t₁，t₂．利用|EA|+|EB|=|t₁|+|t₂|=|t₁-t₂|=

(t1+t2)2-4t1t2

及其根与系数的关系即可得出．

解答： 解：（1）由曲线C的极坐标方程ρ-2cosθ-4sinθ=0，化为ρ²-2ρcosθ-4ρsinθ=0，
∴x²+y²-2x-4y=0；
由直线l的参数方程

x= 1 2 t y=2+ 3 2 t

（t是参数）化为y=

3

x+2．
（2）把直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程可得：t²-t-4=0．
点E对应的参数为t=0．设点A，B分别对应的参数为t₁，t₂．
则t₁+t₂=1，t₁t₂=-4．
∴|EA|+|EB|=|t₁|+|t₂|=|t₁-t₂|=

(t1+t2)2-4t1t2

=

1+16

=

17

．

点评：本题考查了参数方程极坐标方程化为普通方程、直线参数方程的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．