Question

设a为实常数，y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=4x+

a2

x

+7，若f（x）≥a+1对一切x≥0成立，则a的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：利用奇函数的性质可得：x＞0时，f（x）=4x+

a2

x

-7；x=0时，f（x）=0．当x＞0时，4x+

a2

x

-7≥a+1恒成立，可得：4x²-（a+8）x+a²≥0恒成立．令g（x）=4x²-（a+8）x+a²，可得当x＞0时，g（x）≥0恒成立?

- -(a+8) 8 ≤0 g(0)≥0

，或△≤0．解出即可．

解答： 解：设x＞0，则-x＜0．
∵当x＜0时，f（x）=4x+

a2

x

+7，
∴f（-x）=-4x-

a2

x

+7．
∵y=f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（x）=-f（-x）=4x+

a2

x

-7．
∵f（x）≥a+1对一切x≥0成立，
∴当x＞0时，4x+

a2

x

-7≥a+1恒成立；且当x=0时，0≥a+1恒成立．
①由当x=0时，0≥a+1恒成立，解得a≤-1．
②由当x＞0时，4x+

a2

x

-7≥a+1恒成立，可得：4x²-（a+8）x+a²≥0恒成立．
令g（x）=4x²-（a+8）x+a²，
则当x＞0时，g（x）≥0恒成立?

- -(a+8) 8 ≤0 g(0)≥0

，或△≤0，
解得a≤-

8

5

．
综上可得：a≤-

8

5

．
因此a的取值范围是：a≤-

8

5

．
故答案为：a≤-

8

5

．

点评：本题考查了函数的奇偶性、二次函数的单调性、恒成立问题的等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．