Question

18．椭圆M：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，P为椭圆M上任一点，且|PF₁|•|PF₂|的最大值的取值范围是[2b²，3b²]，椭圆M的离心率为e，则e-$\frac{1}{e}$的最小值是（　　）

• A． -$\frac{\sqrt{2}}{2}$
• B． -$\sqrt{2}$
• C． -$\frac{\sqrt{6}}{6}$
• D． -$\frac{\sqrt{6}}{3}$

Answer 1

分析 利用基本不等式得出|PF₁|•|PF₂|的最大值，从而得出离心率的范围，再根据函数单调性得出答案．

解答 解：由椭圆的定义可知|PF₁|+|PF₂|=2a，
∴|PF₁|•|PF₂|≤（$\frac{|P{F}_{1}|+|P{F}_{2}|}{2}$）²=a²，
∴2b²≤a²≤3b²，
即2a²-2c²≤a²≤3a²-3c²，
∴$\frac{1}{2}$≤$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$≤$\frac{2}{3}$，即$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤e≤$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
令f（e）=e-$\frac{1}{e}$，则f（e）是增函数，
∴当e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，e-$\frac{1}{e}$取得最小值$\frac{\sqrt{2}}{2}$-$\sqrt{2}$=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故选A．

点评 本题考查了椭圆的性质，基本不等式的应用，属于基础题．