Question

15．对任意的n∈N^*，数列{a_n}满足|a_n-cos²n|≤$\frac{1}{3}$且|a_n+sin²n|≤$\frac{2}{3}$，则a_n等于（　　）

• A． $\frac{2}{3}$-sin²n
• B． sin²n-$\frac{2}{3}$
• C． $\frac{1}{3}$-cos²n
• D． cos²n+$\frac{1}{3}$

Answer 1

分析 |a_n-cos²n|≤$\frac{1}{3}$且|a_n+sin²n|≤$\frac{2}{3}$，可得cos²n-$\frac{1}{3}$≤a_n≤cos²n+$\frac{1}{3}$，-sin²n-$\frac{2}{3}$≤a_n≤-sin²n+$\frac{2}{3}$，即cos²n-$\frac{5}{3}$≤a_n≤cos²n-$\frac{1}{3}$，即可得出．

解答 解：∵|a_n-cos²n|≤$\frac{1}{3}$且|a_n+sin²n|≤$\frac{2}{3}$，
∴cos²n-$\frac{1}{3}$≤a_n≤cos²n+$\frac{1}{3}$，-sin²n-$\frac{2}{3}$≤a_n≤-sin²n+$\frac{2}{3}$，即cos²n-$\frac{5}{3}$≤a_n≤cos²n-$\frac{1}{3}$，
∴a_n=cos²n-$\frac{1}{3}$=$\frac{2}{3}$-sin²n．
故选：A．

点评 本题考查了绝对值不等式的性质、同角三角函数基本关系式、数列通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．