Question

9．函数f（x）=x²-lnx的单调递减区间是（　　）

• A． $（{0，\frac{{\sqrt{2}}}{2}}]$
• B． $[{\frac{{\sqrt{2}}}{2}，+∞}）$
• C． $（{-∞，-\frac{{\sqrt{2}}}{2}}]$，$（{0，\frac{{\sqrt{2}}}{2}}]$
• D． $[{-\frac{{\sqrt{2}}}{2}，\frac{{\sqrt{2}}}{2}}]$

Answer 1

分析 求出原函数的导函数，由导函数小于0求出自变量x在定义域内的取值范围，则原函数的单调减区间可求．

解答 解：由f（x）=x²-lnx，得：f′（x）=（x²-lnx）′=2x-$\frac{1}{x}$=$\frac{{2x}^{2}-1}{x}$，
因为函数f（x）=x²-lnx的定义域为（0，+∞），
由f′（x）≤0，得：$\frac{{2x}^{2}-1}{x}$≤0，
解得：0＜x＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
所以函数f（x）=x²-lnx的单调递减区间是（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]，
故选：A．

点评 本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减，是中档题．