Question

14．已知圆C：（x-2）²+（y-3）²=4外的有一点P（4，-1），过点P作直线l．
（1）当直线l过圆心C时，求直线l的方程；
（2）当直线l与圆C相切时，求直线l的方程；
（3）当直线l的倾斜角为135°时，求直线l被圆C所截得的弦长．

Answer 1

分析 （1）圆C的圆心C（2，3），半径r=2，P（4，-1），过点P作直线l，当直线l过圆心C时，先求出直线l的斜率k=-2，由此能求出直线l的方程．
（2）当斜率不存在时，直线l的方程为x=4，直线l与圆C相切；当斜率存在时，设直线l的方程为kx-y-k-1=0，则$\frac{{|{2k-3-4k-1}|}}{{\sqrt{1+{k^2}}}}=2$，求出k，由此能求出直线l的方程．
（3）当直线l的倾斜角为135°时，直线l的斜率k′=tan135°=-1，由此能求出直线l的方程．

解答 解：（1）圆C：（x-2）²+（y-3）²=4的圆心C（2，3），半径r=2，
P（4，-1），过点P作直线l，当直线l过圆心C时，
直线l的斜率为k=$\frac{-1-3}{4-2}=-2$，
∴直线l的方程为y+1=-2（x-4），即2x+y-7=0．
（2）当斜率不存在时，直线l的方程为x=4，直线l与圆C相切；
当斜率存在时，设直线l的方程为kx-y-k-1=0，
则$\frac{{|{2k-3-4k-1}|}}{{\sqrt{1+{k^2}}}}=2$，解得$k=-\frac{3}{4}$，
∴直线l的方程为3x+4y-8=0，
综上：直线l的方程为x=4或3x+4y-8=0．
（3）当直线l的倾斜角为135°时，直线l的斜率k′=tan135°=-1，
直线l的方程为：y+1=-（x-4），即x+y-3=0．

点评 本题考查直线方程的求法，考查圆、直线方程、点到直线的距离公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．