Question

3．设函数f（x）=e^x-x，h（x）=-kx³+kx²-x+1．
（1）求f（x）的最小值；
（2）设h（x）≤f（x）对任意x∈[0，1]恒成立时k的最大值为λ，证明：4＜λ＜6．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的最小值即可；
（2）问题转化为证明①$\frac{{e}^{x}-1}{{x}^{2}{-x}^{3}}$＞4对任意x∈（0，1）恒成立，②存在x₀∈（0，1），使得$\frac{{e}^{{x}_{0}}-1}{{{x}_{0}}^{2}{{-x}_{0}}^{3}}$＜6成立，根据函数的单调性证明即可．

解答 解：（1）∵f（x）=e^x-x，∴f′（x）=e^x-1，
x∈（-∞，0）时，f′（x）＜0，f（x）递减，
x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）递增，
∴f（x）_min=f（0）=1；
（2）由h（x）≤f（x），化简可得k（x²-x³）≤e^x-1，
当x=0，1时，k∈R，
当x∈（0，1）时，k≤$\frac{{e}^{x}-1}{{x}^{2}{-x}^{3}}$，
要证：4＜λ＜6，则需证以下两个问题：
①$\frac{{e}^{x}-1}{{x}^{2}{-x}^{3}}$＞4对任意x∈（0，1）恒成立，
②存在x₀∈（0，1），使得$\frac{{e}^{{x}_{0}}-1}{{{x}_{0}}^{2}{{-x}_{0}}^{3}}$＜6成立，
先证：①$\frac{{e}^{x}-1}{{x}^{2}{-x}^{3}}$＞4，即证e^x-1＞4（x²-x³），
由（1）可得：e^x-x≥1恒成立，
∴e^x-1≥x，又x≠0，∴e^x-1＞x，
即证x≥4（x²-x³）?1≥4（x-x²）?（2x-1）²≥0，
（2x-1）²≥0，显然成立，
∴$\frac{{e}^{x}-1}{{x}^{2}{-x}^{3}}$＞4对任意x∈（0，1）恒成立，
再证②存在x₀∈（0，1），使得$\frac{{e}^{{x}_{0}}-1}{{{x}_{0}}^{2}{{-x}_{0}}^{3}}$＜6成立，
取x₀=$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{e}-1}{\frac{1}{4}-\frac{1}{8}}$=8（$\sqrt{e}$-1），
∵$\sqrt{e}$＜$\frac{7}{4}$，∴8（$\sqrt{e}$-1）＜6×$\frac{3}{4}$=6，
故存在x₀∈（0，1），使得$\frac{{e}^{{x}_{0}}-1}{{{x}_{0}}^{2}{{-x}_{0}}^{3}}$＜6，
由①②可得：4＜λ＜6．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，考查转化思想，是一道中档题．