Question

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，解答下列问题：
（1）指出直线AB与CC₁的位置关系； 
（2）求直线AD与BC₁所成角的大小；
（3）证明BD₁⊥AC．

Answer 1

考点：异面直线及其所成的角,直线与平面垂直的性质

专题：计算题,证明题,空间位置关系与距离

分析：（1）由异面直线的判定，即可得到；（2）由于BC∥AD，则∠CBC₁即为直线AD与BC₁所成角，求出即可得到；（3）由线面垂直的性质和判定定理，即可得证．

解答： （1）解：由于AB?平面ABCD，C∉AB，C₁∉平面ABCD，
则由异面直线的判定，即可得到，直线AB与CC₁是异面直线；
（2）解：由于BC∥AD，则∠CBC₁即为直线AD与BC₁所成角，
由于正方形BCC₁B₁，即有∠CBC₁=45°，
则直线AD与BC₁所成角为45°；
（3）证明：连接BD，则正方形ABCD中，AC⊥BD，
又DD₁⊥平面ABCD，则DD₁⊥AC，
则AC⊥平面BDD₁，即有AC⊥BD₁．

点评：本题考查空间直线和直线的位置关系，考查空间异面直线所成角的求法和线面垂直的判定和性质及运用，属于基础题．