Question

如图，已知正方形ABCD的边长为2，AC∩BD=O．将正方形ABCD沿对角线BD折起，得到三棱锥A-BCD．

（1）求证：面AOC⊥面BCD；
（2）若∠AOC=60°，求三棱锥A-BCD的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,平面与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）运用直线与平面，平面与平面的垂直问题求解判断．（2）转化V_A-BCD=2V_D-ACO，运用体积公式求解即可．

解答： 解：（1）证明：因为AC、BD是正方形
ABCD的对角线，所以AC⊥BD．
故在折叠后的△ABD和△BCD中，有
BD⊥AO，BD⊥CO．
又AO∩CO=O，所以BD⊥平面AOC．
因为BD?平面BCD，所以平面AOC⊥
平面BCD．
（2）∵BD⊥AO，BD⊥CO．
又AO∩CO=O，所以BD⊥平面AOC．
∵∠AOC=60°，正方形ABCD的边长为2
∴S_△ACO=

3

4

×（

2

）²=

3

2

，OD=

2

，
∴V_A-BCD=2V_D-ACO=2×

1

3

×

3

2

×

2

=

6

3

，
故棱锥A-BCD的体积为：

6

3

．

点评：本题考查了平面图形的折叠问题，空间几何题的体积面积问题，属于中档题．