Question

已知S_n为数列{a_n}的前n项的和，满足S_n=

t-tan

1-t

（n∈N^*），其中t为常数，且t≠0，t≠1．
（1）求通项a_n；
（2）若t=-

3

2

，设b_n=（n+2）•a_n•ln|a_n|问数列{b_n}的最大项是它的第几项？

Answer 1

考点：数列的函数特性,等比关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：解：（1）当n=1时，a₁=t≠0，由（1-t）S_n+1=t-ta_n+1，（1-t）S_n=t-ta_n，两式相减可得

an+1

an

=t，利用等比数列的通项公式即可得出．
（2）b_n=（n+2）•a_n•ln|a_n|=（n+2）(-

3

2

)n•nln(

3

2

)．对n分类讨论：当n为偶数时，当n为奇数时，即可得出．

解答： 解：（1）当n=1时，a₁=t≠0，
由已知可得：
（1-t）S_n+1=t-ta_n+1，
（1-t）S_n=t-ta_n，
∴

an+1

an

=t，
∴数列{a_n}为等比数列，∴a_n=tⁿ．

（2）b_n=（n+2）•a_n•ln|a_n|=（n+2）(-

3

2

)n•nln(

3

2

)．
当n为偶数时，b_n＜0，
∴{b_n}不存在最大项；当n为奇数时，b_n＞0，设{b_n}最大项为b_m．
则

bm≥bm+2 bm≥bm-2

，解得12≤m≤14，
∴m=14．
∴数列{b_n}的最大项为第13项．

点评：本题考查了递推数列的意义、等比数列的通项公式、分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．