Question

在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，已知b=2

3

，c=6，B=30°．
（I）求角A及边a；
（Ⅱ）若cosβ=

2 5

5

，β∈(0，

π

2

)，求tan（2β+B）的值．

Answer 1

考点：正弦定理的应用

专题：计算题,解三角形

分析：（Ⅰ）运用正弦定理，求出sinC，注意两解；
（Ⅱ）运用同角的平方关系，以及二倍角的正弦和余弦、正切公式，以及两角和的正切公式，即可得到．

解答： 解：（Ⅰ）由于b=2

3

，c=6，B=30°，
则由正弦定理

b

sinB

=

c

sinC

得，sinC=

csinB

b

=

6× 1 2

2 3

=

3

2

，
则C=60°或C=120°，
当C=60°时，则A=90°，a=

b2+c2

=4

3

，
当C=120°时，A=30°，a=b=2

3

；
（Ⅱ）由于cosβ=

2 5

5

，β∈(0，

π

2

)，
则sinβ=

1- 4 5

=

5

5

，
sin2β=2sinβcosβ=

4

5

，cos2β═2cos²β-1=2×

4

5

-1=

3

5

，
故tan2β=

sin2β

cos2β

=

4

3

，
故tan（2β+B）=

tan2β+tan30°

1-tan2βtan30°

=

4 3 + 3 3

1- 4 3 × 3 3

=

48+25 3

11

．

点评：本题考查正弦定理和运用，考查同角公式和二倍角公式的正弦和余弦、正切公式的运用，考查运算能力，属于中档题．