Question

已知函数f（x）=

x2-6(x≥ 3 或x≤- 3 ) -x2(- 3 ＜x＜ 3 )

，设0＜m＜n，且f（m）=f（n），则mn²的最大值为

 

．

Answer 1

考点：函数的值

专题：函数的性质及应用

分析：讨论m的范围，得到关于m，n的等式，然后将mn²值化为一个变量的形式，借助于求导求它的最大值．

解答： 解：①当0＜m＜n＜

3

时，f（m）=f（n），得到m²=n²，得到m，n异号，所以不满足题意；
②当0＜m＜

3

＜n时，由f（m）=f（n），得到-m²=n²-6，得到m²+n²=6，mn²=m（6-m²）=-m³+6m，
设y=-m³+6m，令y′=-3m²+6=0，解得m=±

2

，∵m＞0，∴m=

2

，
当m∈（0，

2

）时，y=-m³+6m时增函数，m∈（

2

，

3

）时是减函数，
∴函数y=-m³+6m的最大值为m=

2

时y=4

2

；
∴mn²的最大值为4

2

．
故答案为：4

2

．

点评：本题考查了分段函数解析式的运用已经利用导数求函数的最值，属于中档题．