Question

已知：函数f（x）=psinωx•cosωx-cos²ωx（p＞0，ω＞0）的最大值为

1

2

，最小正周期为

π

2

．
（Ⅰ）求：f（x）的解析式；
（Ⅱ）若△ABC的三条边为a，b，c，满足a²=bc，a边所对的角为A．求：角A的取值范围及函数f（A）的值域．

Answer 1

考点：余弦定理,两角和与差的正弦函数,由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式

专题：解三角形

分析：（Ⅰ）f（x）解析式利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据周期公式求出ω的值，由函数的最大值求出p的值，即可确定出解析式；
（Ⅱ）利用余弦定理表示出cosA，把已知等式代入并利用基本不等式变形求出cosA的范围，确定出A的范围，进而求出这个角的范围，利用正弦函数的值域即可确定出f（A）的值域．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=

p

2

sin2ωx-

1

2

cos2ωx-

1

2

=

p2+1

2

sin（2ωx-arctan

1

p

）-

1

2

，
由

2π

2ω

=

π

2

，得ω=2，由

p2+1

2

-

1

2

=

1

2

及p＞0，得p=

3

，
则f（x）=sin（4x-

π

6

）-

1

2

；
（Ⅱ）∵△ABC中，a²=bc，
∴cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

b2+c2-bc

2bc

≥

2bc-bc

2bc

=

1

2

，
∵A为三角形内角，∴0＜A≤

π

3

，
∴-

π

6

＜4A-

π

6

≤

7π

6

，
∴-

1

2

≤sin（4A-

π

6

）≤1，
则-1≤f（A）≤

1

2

．故值域是[-1，

1

2

]

点评：此题考查了余弦定理，二倍角的正弦、余弦函数公式，基本不等式的运用，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．