Question

已知函数f（x）=xlnx，g（x）=（-x²+ax-3）e^x（其中a实数，e是自然对数的底数）．
（Ⅰ）当a=5时，求函数y=g（x）在点（1，e）处的切线方程；
（Ⅱ）求f（x）在区间[t，t+2]（t＞0）上的最小值；
（Ⅲ） 若存在x₁，x₂∈[e^-1，e]（x₁≠x₂），使方程g（x）=2e^xf（x）成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：计算题,分类讨论,导数的概念及应用,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）写出当a=5时g（x）的表达式，求出导数，求得切线的斜率和切点，再由点斜式方程，即可得到切线方程；
（Ⅱ）求出f（x）的导数，求出极值点，讨论①当t≥

1

e

时，②当0＜t＜

1

e

时，函数f（x）的单调性，即可得到最小值；
（Ⅲ） 由g（x）=2e^xf（x）可得2xlnx=-x²+ax-3，得到a=x+2lnx+

3

x

，令h（x）═x+2lnx+

3

x

，求出导数，列表求出极值，求出端点的函数值，即可得到所求范围．

解答： 解：（Ⅰ）当a=5时，g（x）=（-x²+5x-3）e^x，
g′（x）=（-x²+3x+2）e^x，
故切线的斜率为g′（1）=4e，且g（1）=e，
所以切线方程为：y-e=4e（x-1），即4ex-y-3e=0．
（Ⅱ）f′（x）=lnx+1，
令f′（x）=0，得x=

1

e

，
①当t≥

1

e

时，在区间（t，t+2）上，f′（x）＞0，f（x）为增函数，
所以f（x）_min=f（t）=tlnt，
②当0＜t＜

1

e

时，在区间（t，

1

e

）上f′（x）＜0，f（x）为减函数，
在区间（

1

e

，e）上f′（x）＞0，f（x）为增函数，
所以f（x）_min=f（

1

e

）=-

1

e

；
（Ⅲ） 由g（x）=2e^xf（x）可得2xlnx=-x²+ax-3
a=x+2lnx+

3

x

，
令h（x）═x+2lnx+

3

x

，h′（x）=1+

2

x

-

3

x2

=

(x+3)(x-1)

x2

x	（ 1 e ，1）	1	（1，e）
h′（x）	-	0	+
h（x）	单调递减	极小值（最小值）	单调递增

h（

1

e

）=

1

e

+3e-2，h（1）=4，h（e）=

3

e

+e+2，
h（e）-h（

1

e

）=4-2e+

2

e

＜0
则实数a的取值范围为（4，e+2+

3

e

]．

点评：本题考查导数的运用：求切线方程和求极值、最值，考查分类讨论的思想方法，考查运算能力，属于中档题．