Question

已知函数f（x）=2sin²（

π

4

+x）-

3

cos2x-1，x∈R
（1）求f（x）的最值和最小正周期；
（2）若h（x）=f（x+t）的图象关于点（-

π

6

，0）对称，且t∈（0，π），求t的值；
（3）设p：x∈[

π

4

，

π

2

]，q：|f（x）-m|＜3，若p是q的充分条件，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：三角函数的周期性及其求法,必要条件、充分条件与充要条件的判断

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）利用三角函数的公式将函数f（x）进行化简，即可求f（x）的最值和最小正周期；
（2）求出h（x）的表达式，利用图象关于点（-

π

6

，0）对称，建立条件关系即可求t的值；
（3）求出当x∈[

π

4

，

π

2

]，函数f（x）的值域，利用p是q的充分条件，即可求出m的取值范围．

解答： 解：（1）∵f（x）=2sin²（

π

4

+x）-

3

cos2x-1=-cos2（x+

π

4

）-

3

cos2x=sin2x-

3

cos2x=2sin（2x-

π

3

）．
则函数的最大值为2，最小值为-2，
函数的周期T=

2π

2

=π．
（2）∵f（x）=2sin（2x-

π

3

），
∴h（x）=f（x+t）=2sin（2x+2t-

π

3

），
∵h（x）=f（x+t）的图象关于点（-

π

6

，0）对称
∴h（-

π

6

）=2sin(-

π

6

×2+2t-

π

3

)=2sin(2t-

2π

3

)=0，
即2t-

2π

3

=0+kπ，
∴t=

π

3

+

kπ

2

，
∵t∈（0，π），
∴当k=0时，t=

π

3

，
当k=1时，t=

5π

6

．
（3）∵|f（x）-m|＜3，
∴：-3＜f（x）-m＜3，
即m-3＜f（x）＜m+3，
当x∈[

π

4

，

π

2

]，2x-

π

3

∈[

π

6

，

2π

3

]，此时2sin（2x-

π

3

）∈[1，2]，
即f（x）∈[1，2]，
要使p是q的充分条件，
则

m-3≤1 m+3≥2

，
即

m≤4 m≥-1

，
∴-1≤m≤4，
即实数m的取值范围是[-1，4]．

点评：本题主要考查三角函数的图象和性质，要求熟练掌握三角函数的周期，对称性和最值的性质，涉及的知识点较多，综合性较强，运算量较大．