Question

12．已知函数f（x）=sinωx-$\sqrt{3}$cosωx（ω＞0）的图象的相邻两对称轴间的距离为$\frac{π}{2}$，则当x∈[-$\frac{π}{2}$，0]时，f（x）的最大值和单调增区间分别为（　　）

• A． 1，[-$\frac{π}{2}$，-$\frac{π}{6}$]
• B． 1，[-$\frac{π}{2}$，-$\frac{π}{12}$]
• C． $\sqrt{3}$，[-$\frac{π}{6}$，0]
• D． $\sqrt{3}$，[-$\frac{π}{12}$，0]

Answer 1

分析 利用两角和的正弦函数公式化简可得函数解析式f（x）=2sin（ωx-$\frac{π}{3}$），由题意可求周期T，利用周期公式可求ω，由x∈[-$\frac{π}{2}$，0]，可得2x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{4π}{3}$，-$\frac{π}{3}$]，利用正弦函数的图象和性质即可求f（x）的最大值，单调增区间．

解答 解：∵f（x）=sinωx-$\sqrt{3}$cosωx=2sin（ωx-$\frac{π}{3}$）的图象的相邻两对称轴间的距离为$\frac{π}{2}$，
∴周期T=π=$\frac{2π}{ω}$，解得：ω=2，
∴f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$），
∵x∈[-$\frac{π}{2}$，0]时，2x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{4π}{3}$，-$\frac{π}{3}$]，
∴利用正弦函数的图象和性质可得f（x）的最大值为$\sqrt{3}$．
单调增区间为：[-$\frac{π}{12}$，0]．
故选：D．

点评 本题主要考查了两角和的正弦函数公式，周期公式，正弦函数的图象和性质，考查了计算能力和数形结合的思想，属于中档题．