Question

如图，已知在侧棱垂直于底面的三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=

2

，且AC⊥BC，点D是A₁B₁中点．
（1）求证：平面AC₁D⊥平面A₁ABB₁；
（2）若直线AC₁与平面A₁ABB₁所成角的正弦值为

10

10

，求三棱锥A₁-AC₁D的体积．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,平面与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）根据已知条件，利用直线与平面垂直的判定定理，能推导出C₁D⊥面A₁ABB₁，由此能够证明平面AC₁D⊥平面A₁ABB₁．
（2）由（1）可知C₁D⊥平面A₁ABB₁，所以AC₁与平面A₁ABB₁所成的角为∠C₁AD，由此利用已知条件能求出三棱锥A₁-AC₁D的体积．

解答： （1）证明：在侧棱垂直于底面的三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
∵AA₁⊥面A₁B₁C₁，C₁D?面A₁B₁C₁，
∴C₁D⊥AA₁，
∵AC=BC=

2

，∴A₁C₁=B₁C₁=

2

，
∵点D是A₁B₁中点，∴C₁D⊥A₁B₁，
∵AA₁∩A₁B₁=A₁，
∴C₁D⊥面A₁ABB₁，
∵C₁D?面A₁B₁C₁，
∴平面AC₁D⊥平面A₁ABB₁．…（6分）
（2）由（1）可知C₁D⊥平面A₁ABB₁，
∴AC₁与平面A₁ABB₁所成的角为∠C₁AD，
在RT△C₁AD中，由sin∠C1AD=

C1D

AC1

=

10

10

，
∴A1A=2

2

，
∴VA1-AC1D=VC1-A1AD
=

1

3

S△A1AD．C1D=

2

3

．…（12分）

点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查三棱锥体积的求法，解题时要注意空间思维能力的培养，注意化空间问题为平面问题．