Question

已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，它的一个顶点B的坐标为（0，1），离心率为

2

2

．直线l与椭圆C交于M，N两点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若椭圆C的右焦点F恰好为△BMN的垂心，求直线l的方程．

Answer 1

考点：椭圆的应用

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）根据顶点B的坐标为（0，1），求出b，利用离心率为

2

2

，求出a，从而可求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线的方程与椭圆方程联立，利用韦达定理结合向量知识，即可求得结论．

解答： 解：（Ⅰ）设椭圆C的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，则由题意知b=1．
所以

c2

a2

=

a2-b2

a2

=

1

2

，解得a²=2．
所以椭圆C的方程为

x2

2

+y2=1．   …（4分）
（Ⅱ）由题意，直线BF的斜率为-1，从而直线l的斜率为1．
设直线的方程为y=x+m，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），F（1，0），
由

x2 2 +y2=1 ，  y=x+m ，

得3x²+4mx+2（m²-1）=0．
根据韦达定理，x1+x2=-

4

3

m，x1x2=

2m2-2

3

．
于是

NF

•

BM

=(1-x2)x1-y2(y1-1)=x₁+y₂-x₁x₂-y₁y₂=x₁+x₂+m-x₁x₂-（x₁+m）（x₂+m）
=-2x1x2+(1-m)(x1+x2)+m-m2=-2•

2m2-2

3

+(1-m)(-

4m

3

)+m-m2=0
解之得m=1或m=-

4

3

．
当m=1时，点B即为直线l与椭圆的交点，不合题意；
当m=-

4

3

时，经检验知l和椭圆相交，符合题意．
所以，当且仅当直线l的方程为y=x-

4

3

时，点F是△BMN的垂心．…（10分）

点评：本题以椭圆的几何性质为载体，考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，关键是联立方程，利用韦达定理求解．