Question

已知正项等比数列{a_n}的前n项和为S_n，b_n=

a3n

a2n+1

，且{b_n}的前n项和为T_n，若对一切正整数n都有S_n＞T_n，则数列{a_n}的公比q的取值范围是（　　）

• A、0＜q＜1
• B、q＞1
• C、q＞

  2

• D、1＜q＜

  2

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：利用等比数列的定义可得{b_n}是首项为

a1

q2

，公比为q的等比数列，再利用等比数列求和公式求得s_n和T_n，由S_n＞T_n，即可求得q的取值范围．

解答： 解：设数列{a_n}的公比为q，且有a_n＞0，q＞0，
∴b_n=

a3n

a2n+1

=

(a1qn-1)3

(a1qn)2

=a1qn-3，
∴b₁=

a1

q2

，

bn+1

bn

=q，
∴{b_n}是首项为

a1

q2

，公比为q的等比数列，
当q=1时，b_n=a_n=a₁，s_n=T_n，与已知矛盾，∴q≠1，
∴S_n＞T_n?

a1(1-qn)

1-q

＞

a1 q2 (1-qn)

1-q

=

a1(1-qn)

q2(1-q)

，
∵1-q和1-qⁿ同号，
∴q²＞1，即q＞1．
故选B．

点评：本题主要考查等比数列的定义、通项公式及求和公式等知识，考查学生的运算求解能力，属于中档题．