Question

设f（x）=x³-

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x2-2x+5，当x∈[-2，2]时，f（x）-m＞0恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：由已知条件得，m＜f（x），x∈[-2，2]，只要m＜f（x）_min即可，所以求f′（x），根据极小值的概念，求f（x）在[-2，2]上的极小值，并比较端点值得到f（x）在[-2，2]上的最小值f（x）_min=-1，所以m＜-1，所以实数m的取值范围便是（-∞，-1）．

解答： 解：由已知条件得，x∈[-2，2]时，m＜f（x）恒成立，∴m＜f（x）_min，x∈[-2，2]；
f′（x）=3x²-x-2，令f′（x）=0得，x=-

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，或1；
∴x∈[-2，-

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)时，f′（x）＞0，x∈(-

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，1)时，f′（x）＜0，x∈（1，2]时，f′（x）＞0；
∴f（x）在[-2，2]上的，极小值是f（1）=

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，又f（-2）=-1；
∴在[-2，2]上，f（x）_min=-1，∴m＜-1；
∴实数m的取值范围为（-∞，-1）．

点评：考查极小值的概念及求解过程，以及最小值的求解方法．