Question

7．如图，四棱锥P-ABCD，底面ABCD是边长为2的菱形，$∠ABC=\frac{π}{3}$，且PA⊥平面ABCD．
（Ⅰ）证明：平面PAC⊥平面PBD；
（Ⅱ）设点E是线段AP的中点，且AE=1，求点E到平面PCD的距离．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用线面垂直的性质定理及其PA⊥平面ABCD，可得BD⊥PA，由四边形ABCD是菱形，可得BD⊥AC，再利用线面面面垂直的性质定理即可证明．
（II）设点A到平面PCD的距离为d，利用V_A-PCD=V_P-ACD，可得d，即可得出点E到平面PCD的距离为$\frac{1}{2}$d．

解答 （Ⅰ）证明：PA⊥平面ABCD⇒BD⊥PA，…（2分）
四边形ABCD是菱形⇒BD⊥AC，…（3分）
又PA∩AC=A，…（4分）
所以BD⊥平面PAC，…（5分）
又BD?平面PBD，所以平面PAC⊥平面PBD．  …（6分）
（Ⅱ）证明：设点A到平面PCD的距离为d，
可求得${S_{△ACD}}=\frac{{\sqrt{3}}}{4}×{2^2}=\sqrt{3}$，…（7分）
$PD=PC=\sqrt{P{A^2}+A{D^2}}=2\sqrt{2}$，${S_{△PCD}}=\frac{1}{2}×2×\sqrt{{{（{2\sqrt{2}}）}^2}-{1^2}}=\sqrt{7}$，
由V_A-PCD=V_P-ACD，得$\frac{1}{3}×{S_{△PCD}}×d=\frac{1}{3}×{S_{△ACD}}×PA$，…（10分）
即$\frac{1}{3}×\sqrt{7}×d=\frac{1}{3}×\sqrt{3}×2$，
所以$d=\frac{{2\sqrt{21}}}{7}$，
点E到平面PCD的距离为$\frac{1}{2}×\frac{2\sqrt{21}}{7}$=$\frac{\sqrt{21}}{7}$．…（12分）

点评 本题考查了空间线面面面位置关系、体积计算公式、三角形面积计算公式、空间距离，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题．