Question

16．数列{a_n}满足：a_n+1=2a_n+2，a₁=2．
（Ⅰ）证明：数列{a_n+2}是等比数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）证明：$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+…+\frac{1}{a_n}≤1-\frac{1}{2^n}$，n∈N*．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用数列递推式，结合等比数列的定义，即可得到结论；
（Ⅱ）方法一：利用放缩法证明．
方法二：用数学归纳法证明．

解答 证明：（Ⅰ）由a_n+1=2a_n+2，得a_n+1+2=2（a_n+2），
即$\frac{{{a_n}_{+1}+2}}{{{a_n}+2}}=2$，
所以，数列{a_n+2}是公比为2的等比数列．${a_n}+2=（{{a_1}+2}）•{2^{n-1}}={2^{n+1}}$，
所以${a_n}={2^{n+1}}-2$．                           
（Ⅱ）法一：$\frac{1}{a_n}=\frac{1}{{{2^{n+1}}-2}}≤\frac{1}{2^n}$（当n=1时取“=”），
所以$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+…+\frac{1}{a_n}$$≤\frac{1}{2^1}+\frac{1}{2^2}+…+\frac{1}{2^n}$=$\frac{{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2^n}）}}{{1-\frac{1}{2}}}=1-\frac{1}{2^n}$．                       
法二：用数学归纳法．
（1）当n=1时，$\frac{1}{a_1}=\frac{1}{2}，1-\frac{1}{2^1}=\frac{1}{2}$，原不等式成立．  
（2）假设当n=k（k≥1，k∈N*）时，不等式成立，即$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+…+\frac{1}{a_k}≤1-\frac{1}{2^k}$，
则当n=k+1时，$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+…+\frac{1}{a_k}+\frac{1}{{{a_{k+1}}}}$$≤（{1-\frac{1}{2^k}}）+\frac{1}{{{2^{k+2}}-2}}$=$1-\frac{{3•{2^k}-2}}{{{2^k}•（{{2^{k+2}}-2}）}}$=$1-\frac{1}{{{2^{k+1}}}}•\frac{{（{{2^k}-1}）+（{{2^{k+1}}-1}）}}{{{2^{k+1}}-1}}$$≤1-\frac{1}{{{2^{k+1}}}}$
这说明，当n=k+1时，原不等式也成立．
综合（1）（2），可知：$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+…+\frac{1}{a_n}≤1-\frac{1}{2^n}$，n∈N*．

点评 本题考查等比数列的证明以及不等式的证明，考查学生的计算能力和转化能力，属于中档题