Question

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，∠ACB=90°，AC=BC=1，AA₁=2．以AB，BC为邻边作平行四边形ABCD，连接DA₁和DC₁．
（Ⅰ）求证：A₁D∥平面BCC₁B₁；
（Ⅱ）求直线CC₁与平面DA₁C₁所成角的正弦值；
（Ⅲ）线段BC上是否存在点F，使平面DA₁C₁与平面A₁C₁F垂直？若存在，求出BF的长；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,直线与平面所成的角

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）用线面平行的判定定理；（Ⅱ）用向量解决线面角；（Ⅲ）向量解决垂直问题．

解答： （本小题共14分）
解：
（Ⅰ）连结B₁C，∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁∴中A₁B₁∥AB且A₁B₁=AB，
由平行四边形ABCD得CD∥AB且CD=AB
∴A₁B₁∥CD且A₁B₁=CD------------------（1分）
∴四边形A₁B₁CD为平行四边形，A₁D∥B₁C------------------（2分）
∵B₁C?平面BCC₁B₁，A₁D?平面BCC₁B₁------------------（3分）
∴A₁D∥平面BCC₁B₁------------------（4分）

（Ⅱ）由∠ACB=90°，四边形ABCD为平行四边形得AC⊥AD，AA₁⊥底面ABC
如图，以A为原点建立空间直角坐标系A-xyz，则C（0，1，0）D（1，0，0），
A₁（0，0，2），C₁（01，2），------------------（1分）
∴

CC1

=（0，0，2），

A1D

=（1，0，-2），

A1C1

=（0，1，0）
设平面DA₁C₁的法向量为

m

=（x，y，z），则

m • A1D =0 m • A1C1 =0

即

x-2z=0 y=0

，令z=1，则y=0，x=2
∴∴

m

=（2，0，1）------------------（3分）
∴sinθ=

|  CC1 • m      |

| CC1|•| m|

=

2

2× 5

=

5

5

∴直线CC₁与平面DA₁C₁所成角的正弦值为

5

5

------------------（5分）
（Ⅲ）设

F

（λ，1，0），-1≤λ≤0，则

C1F

=（λ，0，-2）------------------（1分）
设平面A₁C₁F的法向量为

m

=（x₁，y₁，z₁），则

A1C1 • m =0 C1F • m =0

，即

y1=0 λx1-2z1=0

令x₁=1，则y₁=0，z1=

λ

2

，所以

m

=(1，0，

λ

2

)------------------（3分）
由（Ⅱ）知：平面DA₁C₁的法向量为

m

=（2，0，1）
假设平面DA₁C₁与平面A₁C₁F垂直，则

n

•

m

=0，解得，λ=-4＜-1
∴线段BC上不存在点F，使平面DA₁C₁与平面A₁C₁F垂直．------------------（5分）

点评：本题考查线面平行的判定及用向量解决空间角、垂直问题，综合性较强．