Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC=3

3

，E是PC的中点．
（Ⅰ）求证：PD⊥面ABE；
（Ⅱ）在线段PD上存在点F，使得CF∥面PAB，试确定点F的位置，并求棱锥D-ACF的体积．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定,平面与平面平行的判定,直线与平面垂直的性质

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）证明PD⊥面ABE，关键是证明AB⊥PD，AE⊥PD；
（Ⅱ）在底面ABCD中过点C作CM∥AB交AD与点M，在△PAD中过点M作MF∥PA交PD于点F，连接CF，利用面面平行，可得在线段PD上存在点F满足DF=

1

4

DP，使CF∥面PAB；利用VD-ACF=VF-ACD=

1

3

S△ACD•hF=

1

12

S△ACD•PA，可求棱锥D-ACF的体积．

解答： （Ⅰ）证明：∵PA⊥底面ABCD，
∴PA⊥AB，PA⊥CD
又AB⊥AD，∴AB⊥面PAD，∴AB⊥PD  …（2分）
又AC⊥CD，∴CD⊥面PAC，∴CD⊥AE  …（3分）
∵PA=AB=BC=AC，E是PC的中点，
∴AE⊥PC，
∵CD∩PC=C，
∴AE⊥面PCD，
∴AE⊥PD         …（4分）
∵AB∩AE=A，
∴PD⊥面ABE…（5分）
（Ⅱ）解：在底面ABCD中过点C作CM∥AB交AD与点M，在△PAD中过点M作MF∥PA交PD于点F，
连接CF，∴面CMF∥面PAB，∴CF∥面PAB…（7分）
在底面ABCD中，∠CAD=30°，∠ACD=90°，CM⊥AD，故DM=

1

2

CD=

1

4

DA，∴DF=

1

4

DP…（8分）
∴在线段PD上存在点F满足DF=

1

4

DP，使CF∥面PAB…（9分）
因此，点F是线段DP靠近点D的一个四等分点，则VD-ACF=VF-ACD=

1

3

S△ACD•hF=

1

12

S△ACD•PA…（10分）
∵△ABC中，AB=BC=3

3

且∠ABC=60°，∴AC=3

3

又在Rt△ACD中，∠CAD=30°，∠ACD=90°，AC=3

3

，则DC=3，…（11分）
∴S△ACD=

1

2

AC•CD=

9 3

2

，则VD-ACF=VF-ACD=

1

12

S△ACD•PA=

1

12

×

9 3

2

×3

3

=

27

8

…（12分）

点评：本题主要考查了线面垂直的判定、以及线面平行的判定，同时考查了空间想象能力，推理论证能力，属于中档题．