题目内容
已知抛物线C1：y2=8x与双曲线C2：
-
=1（a＞0，b＞0）有公共焦点F2．点A是曲线C1，C2在第一象限的交点，且|AF2|=5．
（1）求双曲线交点F2及另一交点F1的坐标和点A的坐标；
（2）求双曲线C2的方程；
（3）以F1为圆心的圆M与直线y=
x相切，圆N：（x-2）2+y2=1，过点P（1，
）作互相垂直且分别与圆M、圆N相交的直线l1和l2，设l1被圆M截得的弦长为s，l2被圆N截得的弦长为t，问：
是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
（1）求双曲线交点F2及另一交点F1的坐标和点A的坐标；
（2）求双曲线C2的方程；
（3）以F1为圆心的圆M与直线y=
| 3 |
| 3 |
| s |
| t |
考点：直线与圆锥曲线的综合问题
专题：圆锥曲线中的最值与范围问题
分析：（1）由抛物线C1：y2=8x的焦点能求出双曲线交点F2及另一交点F1的坐标，由抛物线定义能求出点A的坐标．
（2）由已知条件推导出
，由此能求出双曲线C2的方程．
（3）设圆M的方程为：（x+2）2+y2=r2，设l1的方程为kx-y+
-k=0，设l2的方程x+ky-
k-1=0，由此利用点到直线距离公式结合已知条件能求出
是定值
．
（2）由已知条件推导出
|
（3）设圆M的方程为：（x+2）2+y2=r2，设l1的方程为kx-y+
| 3 |
| 3 |
| s |
| t |
| 3 |
解答：
解：（1）∵抛物线C1：y2=8x的焦点为F2（2，0），
∴双曲线C2的焦点为F1（-2，0），F2（2，0），
设A（x0，y0），∵A在抛物线C1：y2=8x上，且|AF2|=5，
由抛物线定义得x0+2=5，∴x0=3，y02=8×3，∴y0=±2
，
∴A（3，2
）或A（3，-2
）．
（2）由（1）知双曲线的半焦距c=2，且双曲线过焦点，
∴
，解得a=1，b=
，
∴双曲线C2的方程为x2-
=1．
（3）
为定值．说明如下：
设圆M的方程为：（x+2）2+y2=r2，
∵圆M与直线y=
x相切，
∴圆M的半径为r=
=
，
∴圆M：（x+2）2+y2=3，
由题意知当直线l1的直线不存在时不符合题意，
∴l1的直线的斜率存在，设l1的方程为y-
=k(x-1)，
即kx-y+
-k=0，
设l2的方程为y-
=-
(x-1)，即x+ky-
k-1=0，
∴点F1到直线l1的距离为d1=
，
点F2到直线l2的距离为d2=
，
∴直线l1被圆M截得的弦长S=2
=2
，
直线l2被圆截得的弦长t=2
=1
，
∴
=
=
=
，
∴
是定值
．
∴双曲线C2的焦点为F1（-2，0），F2（2，0），
设A（x0，y0），∵A在抛物线C1：y2=8x上，且|AF2|=5，
由抛物线定义得x0+2=5，∴x0=3，y02=8×3，∴y0=±2
| 6 |
∴A（3，2
| 6 |
| 6 |
（2）由（1）知双曲线的半焦距c=2，且双曲线过焦点，
∴
|
| 3 |
∴双曲线C2的方程为x2-
| y2 |
| 3 |
（3）
| s |
| t |
设圆M的方程为：（x+2）2+y2=r2，
∵圆M与直线y=
| 3 |
∴圆M的半径为r=
2
| ||||
|
| 3 |
∴圆M：（x+2）2+y2=3，
由题意知当直线l1的直线不存在时不符合题意，
∴l1的直线的斜率存在，设l1的方程为y-
| 3 |
即kx-y+
| 3 |
设l2的方程为y-
| 3 |
| 1 |
| k |
| 3 |
∴点F1到直线l1的距离为d1=
|3k-
| ||
|
点F2到直线l2的距离为d2=
|
| ||
|
∴直线l1被圆M截得的弦长S=2
3-(
|
|
直线l2被圆截得的弦长t=2
1-(
|
|
∴
| S |
| t |
|
|
| 3 |
∴
| s |
| t |
| 3 |
点评：本题考查点的坐标的求法，考查双曲线方程的求法，考查两条弦长的比值是否为定值的判断与求法，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．
练习册系列答案
相关题目
如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，∠ACB=90°，AC=BC=1，AA1=2．以AB，BC为邻边作平行四边形ABCD，连接DA1和DC1．
已知椭圆C：
从某节能灯生产线上随机抽取100件产品进行寿命试验，按连续使用时间（单位：天）共分5组，得到频率分布直方图如图．
已知△ABC是边长为2的正三角形，P、Q依次是AB、AC边上的点，且线段PQ将△ABC分成面积相等的两部分．设AP=x，AQ=t，PQ=y，求：