Question

设a_n=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

（n∈N^*），是否存在一次函数g（x），使得a₁+a₂+a₃+…+a_n-1=g（n）（a_n-1）对n≥2的一切自然数都成立，并试用数学归纳法证明你的结论．

Answer 1

考点：数学归纳法,数列递推式

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：假设存在一次函数g（x）=kx+b（k≠0），依题意可求得k=1，b=0，故猜想：g（x）=x；然后用数学归纳法加以证明即可．

解答： 解：假设存在一次函数g（x）=kx+b（k≠0），使得a₁+a₂+a₃+…+a_n-1=g（n）（a_n-1）对n≥2的一切自然数都成立，
则当n=2时有，a₁=g（2）（a₂-1），又∵a1=1，a2=1+

1

2

，∴g（2）=2即2k+b=2…①．
当n=3时有，a₁+a₂=g（3）（a₃-1），又∵a1=1，a2=1+

1

2

，a2=1+

1

2

+

1

3

，∴g（3）=3，即3k+b=3…②，
由①②可得k=1，b=0，
所以猜想：g（x）=x，…（5分）
下面用数学归纳法加以证明：
（1）当n=2时，已经得到证明；…（6分）
（2）假设当n=k（k≥2，k∈N）时，结论成立，即存在g（k）=k，使得a₁+a₂+a₃+…+a_k-1=g（k）（a_k-1）对k≥2的一切自然数都成立，则
当n=k+1时，a₁+a₂+a₃+…+a_k=（a₁+a₂+a₃+…+a_k-1）+a_k=k（a_k-1）+a_k=（k+1）a_k-k，…（8分）
又∵ak+1=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

k

+

1

k+1

=ak+

1

k+1

，
∴a_k=a_k+1-

1

k+1

，
∴a1+a2+a3+…+ak=(k+1)(ak+1-

1

k+1

)-k=(k+1)(ak+1-1)，
∴当n=k+1时，命题成立．…（11分）
由（1）（2）知，对一切n，（n≥2，n∈N^*）有g（n）=n，使得a₁+a₂+a₃+…+a_n-1=g（n）（a_n-1）都成立．…（12分）

点评：本题考查数列递推关系式及数学归纳法，着重考查推理与论证能力，属于中档题．