Question

10．数列{a_n}中，a₁=8，a₄=2且满足a_n+2=2a_n+1-a_n n∈N^*
（I）证明数列{a_n} 是等差数列，并求其通项公式；
（II）设S_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|，求S_n．

Answer 1

分析 （1）由a_n+2=2a_n+1-a_n（ n∈N^*），变形为a_n+2-a_n+1=a_n+1-a_n，可知{a_n}为等差数列，由已知利用通项公式即可得出．
（2）令a_n=10-2n≥0，解得n≤5．令T_n=a₁+a₂+…+a_n=9n-n²．可得当n≤5时，S_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|=a₁+a₂+…+a_n=T_n，n≥6时，S_n=a₁+a₂+…+a₅-a₆-a₇…-a_n=T₅-（T_n-T₅）=2T₅-T_n即可得出．

解答 解：（1）∵a_n+2=2a_n+1-a_n（ n∈N^*）
∴a_n+2-a_n+1=a_n+1-a_n，
∴{a_n}为等差数列，设公差为d，
由a₁=8，a₄=2可得2=8+3d，解得d=-2，
∴a_n=8-2（n-1）=10-2n．
（2）令a_n=10-2n≥0，解得n≤5．
令T_n=a₁+a₂+…+a_n=$\frac{n（8+10-2n）}{2}$=9n-n²．
∴当n≤5时，S_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|=a₁+a₂+…+a_n=T_n=9n-n²，
n≥6时，S_n=a₁+a₂+…+a₅-a₆-a₇…-a_n=T₅-（T_n-T₅）=2T₅-T_n=n²-9n+40．
故S_n=$\left\{\begin{array}{l}{9n-{n}^{2}，n≤5}\\{{n}^{2}-9n+40，n≥6}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、含有绝对值的数列的前n项和的求法、分类讨论等基础知识与基本技能方法，属于难题．