Question

2．已知函数f（x）=sin（2x+φ），其中φ为实数，若f（x）≤|f（$\frac{π}{6}$）|对x∈R恒成立，且f（$\frac{π}{3}$）＞f（$\frac{π}{2}$），则φ的值可以为（　　）

• A． $\frac{π}{6}$
• B． $\frac{π}{3}$
• C． $\frac{2π}{3}$
• D． $\frac{7π}{6}$

Answer 1

分析 由题意f（x）≤|f（$\frac{π}{6}$）|对x∈R恒成立，|f（$\frac{π}{6}$）|为f（x）的最大值1，解出φ，根据f（$\frac{π}{3}$）＞f（$\frac{π}{2}$），判断φ的取值条件，根据选项考查即可．

解答 解：若f（x）≤|f（$\frac{π}{6}$）|对x∈R恒成立，|f（$\frac{π}{6}$）|=|sin（$\frac{π}{3}$+φ）|=±1，
所以有：$\frac{π}{3}$+φ=$kπ+\frac{π}{2}$，φ=kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z，
由f（$\frac{π}{3}$）＞f（$\frac{π}{2}$），即sin（$\frac{2π}{3}$+φ）＞sin（π+φ），即sin（φ$-\frac{π}{3}$）＜sinφ．
当k=0时，φ=$\frac{π}{6}$，
sin（$\frac{π}{6}$$-\frac{π}{3}$）=-$\frac{1}{2}$，sin$\frac{π}{6}$=$\frac{1}{2}$．
sin（φ$-\frac{π}{3}$）＜sinφ．满足题意，
故选：A．

点评 本题考查了正弦函数的单调性，函数解析式的求解，属于中档题．