Question

19．在直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆与直线x-$\sqrt{3}$y-4=0相切．
（1）求圆O的方程；
（2）若已知点P（2，3），过点P作圆O的切线，求切线的方程．

Answer 1

分析 （1）求出圆的半径，即可求圆O的方程；
（2）分类讨论，利用圆心到直线的距离等于半径，即可求切线的方程．

解答 解：（1）圆心到直线的距离d=$\frac{4}{\sqrt{1+3}}$=2，
∴求圆O的方程为x²+y²=4；
（2）斜率不存在时，x=2满足题意；
斜率存在时，设直线方程为y-3=k（x-2），即kx-y-2k+3=0，
圆心到直线的距离d=$\frac{|-2k+3|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=2，∴k=$\frac{5}{12}$，切线的方程为5x-12y+26=0．
综上所述切线的方程为x=2或5x-12y+26=0．

点评 本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．