Question

5．已知椭圆C的焦点在原点O，左焦点F₁，左顶点A₁，上顶点B₁，△F₁OB₁的周长为3+$\sqrt{3}$，△OA₁B₁的面积为$\sqrt{3}$
（I）求椭圆C的标准方程；
（II）是否存在与椭圆C交于A，B两点的直线l：y=kx+m（k∈R）使得|$\overrightarrow{OA}$+2$\overrightarrow{OB}$|=|$\overrightarrow{OA}$-2$\overrightarrow{OB}$|立？若存在，求出实数m的取值范围，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设出椭圆的标准方程，由题意列关于a，b，c的方程组，求出a，b的值得答案；
（Ⅱ）联立直线方程和椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，由判别式大于0，再由|$\overrightarrow{OA}$+2$\overrightarrow{OB}$|=|$\overrightarrow{OA}$-2$\overrightarrow{OB}$|联立求得m的范围．

解答 解：（I）设椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1（a＞b＞0）$，半焦距为c，
依题意△F₁OB₁的周长为a+b+c=3+$\sqrt{3}$，
△OA₁B₁的面积为$\frac{1}{2}ab=\sqrt{3}$，
又b²=a²-c²=3，
∴a=2，b=$\sqrt{3}$，c=1，
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（Ⅱ）存在直线l，使得|$\overrightarrow{OA}$+2$\overrightarrow{OB}$|=|$\overrightarrow{OA}$-2$\overrightarrow{OB}$|成立．
利用如下：由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0．
△=（8km）²-4（3+4k²）（4m²-12）＞0，
化简得3+4k²＞m²．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{8km}{3+4{k}^{2}}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{4{m}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，
若|$\overrightarrow{OA}$+2$\overrightarrow{OB}$|=|$\overrightarrow{OA}$-2$\overrightarrow{OB}$|成立，即$|\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}{|}^{2}=|\overrightarrow{OA}-2\overrightarrow{OB}{|}^{2}$，
等价于$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$，∴x₁x₂+y₁y₂=0，
${x}_{1}{x}_{2}+（k{x}_{1}+m）（k{x}_{2}+m）=（1+{k}^{2}）{x}_{1}{x}_{2}+km（{x}_{1}+{x}_{2}）+{m}^{2}=0$，
∴$（1+{k}^{2}）\frac{4{m}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}+km\frac{8km}{3+4{k}^{2}}+{m}^{2}=0$．
化简得，7m²=12+12k²，
将${k}^{2}=\frac{7}{12}{m}^{2}-1$代入3+4k²＞m²中，有$3+4（\frac{7}{12}{m}^{2}-1）＞{m}^{2}$，
解得${m}^{2}＞\frac{3}{4}$，
又由7m²=12+12k²，得${m}^{2}≥\frac{12}{7}$．
即m≥$\frac{2\sqrt{21}}{7}$或m$≤-\frac{2\sqrt{21}}{7}$．
∴实数m的取值范围是（-∞，$-\frac{2\sqrt{21}}{7}$]∪[$\frac{2\sqrt{21}}{7}$，+∞）．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与椭圆位置关系的应用，训练了向量法在求解圆锥曲线问题中的应用，是中档题．