题目内容
设数列{an}的前n项和为Sn，若对于任意的n∈N*，都有Sn=2an-3n．
（Ⅰ）求{an}的首项a1与递推关系式：an+1=f（an）；
（Ⅱ）先阅读下面定理：“若数列{an}有递推关系an+1=Aan+B，其中A，B为常数，且A≠1，B≠0，则数列{an-
}是以A为公比的等比数列．”请你在（Ⅰ）的基础上应用本定理，求数列{an}的通项公式；
（Ⅲ）求数列{an}的前n项和Sn．
（Ⅰ）求{an}的首项a1与递推关系式：an+1=f（an）；
（Ⅱ）先阅读下面定理：“若数列{an}有递推关系an+1=Aan+B，其中A，B为常数，且A≠1，B≠0，则数列{an-
| B |
| 4-A |
（Ⅲ）求数列{an}的前n项和Sn．
考点：数列的求和,数列递推式,类比推理
专题：等差数列与等比数列
分析：（Ⅰ）令n=1，由S1=2a1-3，知a1=3，再由Sn+1=2an+1-3（n+1），Sn=2an-3n，得an+1=2an+1-2an-3，
由此能求出an+1=2an+3；
（Ⅱ）按照定理得A=2，B=3，则{an+3}是公比为2的等比数列，由等比数列的通项公式求出{an}的通项公式；
（Ⅲ）由an=6•2n-1-3的特点，利用分组求和法和等比数列的前n项和公式求出Sn．
由此能求出an+1=2an+3；
（Ⅱ）按照定理得A=2，B=3，则{an+3}是公比为2的等比数列，由等比数列的通项公式求出{an}的通项公式；
（Ⅲ）由an=6•2n-1-3的特点，利用分组求和法和等比数列的前n项和公式求出Sn．
解答：
解：（I）令n=1，S1=2a1-3，解得a1=3，
又Sn+1=2an+1-3（n+1），Sn=2an-3n，
两式相减得an+1=2an+1-2an-3，
即an+1=2an+3…（4分）
（II）按照定理：“若数列{an}有递推关系an+1=Aan+B（A，B为常数，且A≠1，B≠0），
则数列{an-
}是以A为公比的等比数列”，得A=2，B=3，
则an-
=an+3，所以{an+3}是公比为2的等比数列．
则an+3=(a1+3)•2n-1=6×2n-1，
即an=6×2n-1-3． …（8分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）得，an=6×2n-1-3，
所以Sn=（6-3）+（6×2-3）+（6×3-3）+…+（6×2n-1-3）
=
-3n=6×2n-3n-6 …（13分）
又Sn+1=2an+1-3（n+1），Sn=2an-3n，
两式相减得an+1=2an+1-2an-3，
即an+1=2an+3…（4分）
（II）按照定理：“若数列{an}有递推关系an+1=Aan+B（A，B为常数，且A≠1，B≠0），
则数列{an-
| B |
| 1-A |
则an-
| B |
| 1-A |
则an+3=(a1+3)•2n-1=6×2n-1，
即an=6×2n-1-3． …（8分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）得，an=6×2n-1-3，
所以Sn=（6-3）+（6×2-3）+（6×3-3）+…+（6×2n-1-3）
=
| 6(1-2n) |
| 1-2 |
点评：本题考查数列的Sn与an的关系式，等比数列的通项公式、前n项和公式，以及数列的求和方法：分组求和法，考查化简、灵活变形能力．
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=2x+m有实数解，则实数m的取值范围是（ ）
| x2-1 |
A、[-
| ||||
B、[-
| ||||
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| ||||
| D、（-∞，-2]∪[2，+∞） |