Question

函数y=sin²x+2cosx在区间[-

2π

3

，θ]上的最小值为-

1

4

，则θ的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：三角函数的最值

专题：三角函数的图像与性质

分析：依题意知，y=sin²x+2cosx=-cos²x+2cosx+1，设t=cosx，有y=-t²+2t+1=-（t-1）²+2，令-（t-1）²+2=-

1

4

，解得t=-

1

2

或t=

5

2

，而cosx≤1，可求得x=

2π

3

+2kπ或-

2π

3

+2kπ（k∈Z），在坐标系中画出函数y=cosx的图象后，数形结合即可求得θ的取值范围．

解答： 解：由题意知，y=sin²x+2cosx=-cos²x+2cosx+1，设t=cosx，
则函数y=-t²+2t+1=-（t-1）²+2，令-（t-1）²+2=-

1

4

，解得t=-

1

2

或t=

5

2

，
∵cosx≤1，
∴t=-

1

2

，即cosx=-

1

2

，x=

2π

3

+2kπ或-

2π

3

+2kπ（k∈Z），
在坐标系中画出函数y=cosx的图象：

由图和x∈[-

2π

3

，θ]知，θ∈(-

2π

3

，

2π

3

]时，函数的最小值为-

1

4

，
故答案为：(-

2π

3

，

2π

3

]．

点评：本题考查三角函数的最值，着重考查二次函数的单调性质及余弦函数的图象与性质，考查分析、解答问题的能力，属于中档题．