Question

已知椭圆T：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）经过点P（2，

2

），一个焦点F的坐标是（2，0）．
（Ⅰ）求椭圆T的方程；
（Ⅱ）设直线l：y=kx+m与椭圆T交于A、B两点，O为坐标原点，椭圆T的离心率为e，若k_OA•k_OB=e²-1．
①求

OA

•

OB

的取值范围；
②求证：△AOB的面积为定值．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）通过焦点的坐标求出c的值，得到a²=b²+4，从而有

4

b2+4

+

2

b2

=1，解方程求出b的值，从而求出椭圆的方程；
（Ⅱ）由直线和椭圆得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-8=0，设出A，B的坐标，根据根与系数的关系表示出

OA

•

OB

，△AOB的面积，从而得到答案．

解答： 解：（Ⅰ）∵焦点F的坐标是（2，0），即c²=4，
∴a²=b²+4，
∴

x2

b2+4

+

y2

b2

=1，
将（2，

2

）代入椭圆的方程得：

4

b2+4

+

2

b2

=1，解得：b²=4，
∴a²=8，
∴椭圆的方程是：

x2

8

+

y2

4

=1；

（Ⅱ）证明：将y=kx+m代入

x2

8

+

y2

4

=1整理得：
（1+2k²）x²+4kmx+2m²-8=0，
当△=16k²m²-4（1+2k²）（2m²-8）＞0，
即8k²+4＞m²时，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴x₁+x₂=-

4km

1+2k2

，x₁•x₂=

2m2-8

1+2k2

，
则y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）
=k²x₁ x₂+km（x₁+x₂）+m²
=

m2-8k2

1+2k2

，
∵椭圆T的离心率e=

2

2

，
K_OA•K_OB=

y1

x1

•

y2

x2

=

y1y2

x1x2

=-

1

2

，
即

m2-8k2

2m2-8

=-

1

2

，得：m²=4k²+2，
∴

OA

•

OB

=

3m2-8k2-8

1+2k2

=

4k2-2

1+2k2

，
当k=0时，

OA

•

OB

=-2，
当k→∞时，

OA

•

OB

→2，
∴-2≤

OA

•

OB

＜2，
而△AOB的面积S=

1

2

|x₁y₂-x₂y₁|
=

|m|

2

•|x₁-x₂|
=

2 (2+4k2)(1+2k2)

1+2k2

=2

2

．

点评：本题考查了椭圆的简单性质，考查了直线和椭圆的关系，考查定值问题，是一道综合题．