Question

4．已知存在实数a，b，c和α，β，γ使得f（x）=x³+ax²+bx+c=（x-α）（x-β）（x-γ），
（1）若a=b=c=-1，求α²+β²+γ²的值；
（2）当$α-β=\frac{1}{3}且γ＞\frac{1}{2}（α+β）$时，若存在实数m，n使得f（m+x）+f（m-x）=2n对任意x∈R恒成立，求f（m）的最值．

Answer 1

分析 （1）运用韦达定理可得α+β+γ=-a=1，αβ+βγ+γα=b=-1，再由三数的和的完全平方公式，即可得到所求值；
（2）由题意可得f（x）关于（m，n）中心对称，求出导数，求得极值点的和，可得m=-$\frac{a}{3}$，求出f（m）的解析式，再令g（t）=（3t-2）（3t+1）（1-6t），通过导数求得极值点，可得最值．

解答 解：（1）由x³+ax²+bx+c=（x-α）（x-β）（x-γ），
可得α+β+γ=-a=1，αβ+βγ+γα=b=-1，
可得α²+β²+γ²=（α+β+γ）²-2（αβ+βγ+γα）=1+2=3；
（2）由题意知y=f（x）关于（m，n）中心对称，
由f（x）的导数f′（x）=3x²+2ax+b，
可得两极值点x₁，x₂的和为-$\frac{2a}{3}$，
所以m取两个极值点的平均值，即m=-$\frac{a}{3}$，
则有f（m）=f（-$\frac{a}{3}$）=（-$\frac{a}{3}$-α）（-$\frac{a}{3}$-β）（-$\frac{a}{3}$-γ）=$\frac{1}{27}$（β+γ-2α）（α+γ-2β）（α+β-2γ）
=$\frac{1}{2{7}^{2}}$[3（γ-β）-2][3（γ-β）+1][1-6（γ-β）]=$\frac{1}{2{7}^{2}}$（3t-2）（3t+1）（1-6t）
其中t=γ-β＞$\frac{1}{2}$（α-β）=$\frac{1}{6}$，令g（t）=（3t-2）（3t+1）（1-6t），
则g′（t）=-9（18t2-6t-1），所以g（t）在（$\frac{1}{6}$，$\frac{1+\sqrt{3}}{6}$）上递增，
在（$\frac{1+\sqrt{3}}{6}$，+∞）上递减．
由此可求出f（m）_max=$\frac{1}{2{7}^{2}}$g（$\frac{1+\sqrt{3}}{6}$）=$\frac{\sqrt{3}}{486}$，f（m）无最小值．

点评 本题考查三次函数的韦达定理的运用，考查函数的最值的求法，注意运用函数的性质，考查运算能力，属于中档题．