Question

2．设函数f（x）=sin（2x+φ）（-π＜φ＜0），y=f（x）图象的一条对称轴是直线x=$\frac{π}{8}$
（I）求φ；
（Ⅱ）求函数y=f（x）的单调增区间；
（Ⅲ）设函数g（x）=f（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{8}$）sinx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\sqrt{3}$cos²x，求y=g（x）的最小正周期在区间[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值．

Answer 1

分析 （I）由条件利用正弦函数的图象的对称性，求得φ的值．
（Ⅱ）由条件利用正弦函数的单调性，求得函数y=f（x）的单调增区间．
（Ⅲ）利用三角恒等变换化简函数g（x）的解析式，从而求得函数的周期，正弦函数的定义域和值域．

解答 解：（I）∵函数f（x）=sin（2x+φ）（-π＜φ＜0）的图象的一条对称轴是直线x=$\frac{π}{8}$，
∴f（0）=f（$\frac{π}{4}$），即sinφ=sin（$\frac{π}{2}$+π）=cosφ，∴φ=$\frac{π}{4}$．
（Ⅱ）∵函数y=f（x）=sin（2x+$\frac{π}{4}$），令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，
求得kπ-$\frac{3π}{8}$≤x≤kπ+$\frac{π}{8}$，可得函数的增区间为[kπ-$\frac{3π}{8}$，kπ+$\frac{π}{8}$]，k∈Z．
（Ⅲ）设函数g（x）=f（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{8}$）sinx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\sqrt{3}$cos²x=sin（x+$\frac{π}{2}$）sinx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\sqrt{3}$•$\frac{1+cos2x}{2}$ 
=cosx•sinx-$\frac{cos2x}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$），
故它的周期为$\frac{2π}{2}$=π．
在区间[0，$\frac{π}{2}$]上，2x-$\frac{π}{4}$∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]，sin（2x+$\frac{π}{4}$）∈[-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]，
故函数f（x）的最大值为1．

点评 本题主要考查正弦函数的图象的对称性，正弦函数的单调性、和周期性，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．