Question

18．为纪念抗日战争胜利70周年，2015年9月3日在北京举行盛大的阅兵式，其中有2个抗战老兵方队，11个徒步方队，17个外军方队，27个装备方队，10个空中方队．上午8点开始从驻地向阅兵目的地集结，10个空中方队不受交通的限制，为了人民的正常生恬，不实行交通管制．路线①堵车的概率为$\frac{1}{4}$；路线②堵车的概率为p．若11个徒步方队、27个装备方队走路线①，2个抗战老兵方队与17个外军方队走路线②且四队是否堵车没有影响．
（1）若四个方队恰有一个方队堵车的概率为$\frac{3}{8}$，求走路线②堵车的概率；
（2）在（1）的条件下，求四个方队中堵车方队的方队的个数?的分布列与数学期望．

Answer 1

分析 （1）由四个方队恰有一个方队堵车的概率为$\frac{3}{8}$，利用n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式能求出走路线②堵车的概率．
（2）由已知得?的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出四个方队中堵车方队的方队的个数?的分布列和E?．

解答 解：（1）∵四个方队恰有一个方队堵车的概率为$\frac{3}{8}$，
∴${C}_{2}^{1}（\frac{1}{4}）（\frac{3}{4}）{C}_{2}^{2}（1-P）^{2}$+${C}_{2}^{2}（\frac{1}{4}）^{2}{C}_{2}^{1}p（1-p）$=$\frac{3}{8}$，
解得p=0，
∴走路线②堵车的概率为0．
（2）由已知得?的可能取值为0，1，2，
P（?=0）=（1-$\frac{1}{4}$）²=$\frac{9}{16}$，
P（?=1）=${C}_{2}^{1}（\frac{1}{4}）（\frac{3}{4}）$=$\frac{3}{8}$，
P（?=2）=（$\frac{1}{4}$）²=$\frac{1}{16}$，
∴四个方队中堵车方队的方队的个数?的分布列为：

?	0	1	2
P	$\frac{9}{16}$	$\frac{3}{8}$	$\frac{1}{16}$

E?=0×$\frac{9}{16}$+1×$\frac{3}{8}$+2×$\frac{1}{16}$=$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式的合理运用．