Question

14．某高中学校在2015年的一次体能测试中，规定所有男生必须依次参加50米跑、立定跳远和一分钟的引体向上三项测试，只有三项测试全部达标才算合格，已知男生甲的50米跑和立定跳远的测试与男生乙的50米跑测试已达标，男生甲还需要参加一分钟的引体向上测试，男生乙还需要参加立定跳远和一分钟引体向上两项测试，若甲参加一分钟引体向上测试达标的概率为p，乙参加立定跳远和一分钟引体向上的测试达标的概率均为$\frac{1}{2}$，甲乙每一项测试是否达标互不影响，已知甲和乙同时合格的概率为$\frac{1}{6}$．
（Ⅰ）求p的值，并计算甲和乙恰有一人合格的概率；
（Ⅱ）在三项测试项目中，设甲达标的测试项目项数为x，乙达标的测试项目项数为y，记ξ=x+y，求随机变量ξ的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设事件A₁=“甲引体向上测试达标”，B₁=“乙立定跳远测试达标”，B₂=“乙引体向上测试达标”，则P（A₁）=p，P（B₁）=P（B₂）=$\frac{1}{2}$，由此利用题设条件求出p=$\frac{2}{3}$，设事件A=“甲测试合格”，B=“乙测试合格”，则P（A）=$\frac{2}{3}$，P（B）=P（B₁B₂）=$\frac{1}{4}$，由此能求出甲和乙恰有一人合格的概率．
（Ⅱ）由已知得随机变量x的取值为2，3，随机变量y的取值为1，2，3，ξ的可能取值为3，4，5，6，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量ξ的分布列和E（ξ）．

解答 解：（Ⅰ）设事件A₁=“甲引体向上测试达标”，B₁=“乙立定跳远测试达标”，
B₂=“乙引体向上测试达标”，则P（A₁）=p，P（B₁）=P（B₂）=$\frac{1}{2}$，
∵甲乙每一项测试是否达标互不影响，甲和乙同时合格的概率为$\frac{1}{6}$，
∴p×（$\frac{1}{2}$）²=$\frac{1}{6}$，解得p=$\frac{2}{3}$，
设事件A=“甲测试合格”，B=“乙测试合格”，
则P（A）=$\frac{2}{3}$，P（B）=P（B₁B₂）=（$\frac{1}{2}$）²=$\frac{1}{4}$，
∴甲和乙恰有一人合格的概率：
p=P（A$\overline{B}$）+P（$\overline{A}$B）=$\frac{2}{3}×\frac{3}{4}$+$\frac{1}{3}×\frac{1}{4}$=$\frac{7}{12}$．
（Ⅱ）由已知得随机变量x的取值为2，3，随机变量y的取值为1，2，3，
∴ξ的可能取值为3，4，5，6，
P（ξ=3）=$\frac{1}{3}×（\frac{1}{2}）^{2}$=$\frac{1}{12}$，
P（ξ=4）=$\frac{1}{3}×{C}_{2}^{1}（\frac{1}{2}）^{2}+\frac{2}{3}×（\frac{1}{2}）^{2}$=$\frac{1}{3}$，
P（ξ=5）=$\frac{1}{3}×（\frac{1}{2}）^{2}+\frac{2}{3}×{C}_{2}^{1}（\frac{1}{2}）^{2}$=$\frac{5}{12}$，
P（ξ=6）=$\frac{2}{3}×（\frac{1}{2}）^{2}$=$\frac{1}{6}$，
∴随机变量ξ的分布列为：

ξ	3	4	5	6
P	$\frac{1}{12}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{5}{12}$	$\frac{1}{6}$

∴E（ξ）=$3×\frac{1}{12}+4×\frac{1}{3}+5×\frac{5}{12}+6×\frac{1}{6}$=$\frac{14}{3}$．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量分布列、数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．